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■51128 / 親記事) 　必要十分条件
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□投稿者/ パスワード 一般人(1回)-(2021/08/26(Thu) 06:30:26)
    必要条件とは、集合で言えば広い領域の方で、十分条件とは逆に狭い領域の方
    であるという理解で正しいと考えております。しかし素朴に以下のような疑問を
    感じました。

    今、

    「すべての実数xで成り立つ」ならば「x=0でも成り立つ」

    という当たり前の文章を考えてみます。これは真ですから、「すべての実数xで成り立つ」の部分は十分条件、「x=0でも成り立つ」の部分は必要条件ということになると思います。
    しかし集合として考えると、どうも自分には「すべての実数」の方が「x=0」よりも領域が広いと捉えてしまうのですが、これはいったいどこに誤りがあるのでしょうか。
    教えてくださいませんか。
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■51135 / ResNo.1) 　Re[1]: 必要十分条件
□投稿者/ らすかる 付き人(79回)-(2021/08/26(Thu) 15:53:29)
    2021/08/26(Thu) 15:56:16 編集(投稿者)

    明らかに
    「すべての実数xで成り立つものの集合」⊂「x=0で成り立つものの集合」
    ですから
    「すべての実数x」と書いてある集合の方が小さいです。
    「○で成り立つもの」の○の範囲が大きいほど集合が小さくなるということです。

    # 数学の問題の回答以外で名前が「らすかる」のものは、
    # 51103を除きすべてなりすましです。
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■51136 / ResNo.2) 　Re[1]: 必要十分条件
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2021/08/26(Thu) 23:24:51)
    必要条件、十分条件を論ずるなら、
    XはYであるための必要条件
    XはYであるための十分条件
    という形でなければなりませんが、質問のは
    Xは十分条件
    Yは必要条件
    となっていて、*のための、がすっかり抜け落ちていて意味不明です。

    実数xに関する条件P(x) (xに実数を代入する毎に真偽が決まるもの）について、
    「すべてのxについてP(x)である」ならば「P(0)である」
    という（真なる）命題を考えているわけですね。
    「P(0)である」であるためには、「すべてのxについてP(x)である」であれば十分です（P(0)だけ成立するかどうかだけ分かればいいけど、全部の実数で成立してるとわかるならそれでもいい）
    「すべてのxについてP(x)である」であるためには「P(0)である」ことは必要（不可欠）です（すべてのxについてP(x)がいえるか知りたい。P(0)だけが成立しても正しいかどうかはわからないが、P(0)が成立しないなら、「すべてのxについてP(x)」が成立しない、という意味でP(0)の成立は必要）
    これはとても自然な文章に思いますが、いかがですか？

    ちなみに、普通の？必要条件、十分条件とは、条件P(x),Q(x)について、
    「すべてのxについて、『P(x)ならばQ(x)』」
    という命題を考えて、これが真の場合に
    P(x)はQ(x)であるための十分条件、
    Q(x)はP(x)であるための必要条件、
    というのでした。
    なお、この命題のことを高校数学では
    P(x)ならばQ(x)
    さらに、xも省略して
    PならばQ
    などと書いています。

    さらに、条件を考える場合は全体集合を最初に決めること、とも書かれています。
    ここでは全体集合は実数全体としておきます。

    以上を踏まえて、なぜこう呼ぶかをおさらいします。
    これら条件P,Qはxの性質と思った方がよくて、Pという性質をもっているかどうか知りたい、が、分かるのはQという性質をもっているかどうかだ、という状況の時に
    「Pであるためには、Qであることは」を使います。
    (1) Pかどうか知りたい時、もし、「Qであることが分かったら、Pであることが必ず言える」なら、Qがいえれば（Pといえるので）十分だ、と使います。
    (2) Pかどうか知りたい時、もし、「Qでないことが分かったら、絶対にPであるとは言えない」のであれば、Qは絶対に必要な性質ですから、Qは（Pが成立するために）必要だ、と使います。
    Qであることが分かったならPであるといえる、とは QならばPのことですし、
    QでないことがいえたらPでないといえるのは（対偶をとれば) PならばQ のことです。

    このように考えると、{x|Q(x)}⊂|x|P(x)} が成立している時に、QはPであるための十分条件、PはQであるための必要条件、ということになっているのです。

    最後に、質問の命題はP(x)ならばQ(x)の形ではない（すべてのx、を使って書くなら『「すべてのxについてP(x)」ならば「すべてのxについて、x=0ならばP(x)」』ですが、すべてのxについて「P(x)⇒Q(x)」の形にはできません）ので、真理集合を考えること自体が無意味です。

    ＃らすかるさんの集合はxの条件Pに関するものの集合で、{P|すべてのxについてP(x)が真} と {P|P(0)が真} とを比べています。

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■51139 / ResNo.3) 　Re[2]: 必要十分条件
□投稿者/ パスワード 一般人(2回)-(2021/08/27(Fri) 09:29:46)
    ありがとうございました。よくわかりました。

解決済み!
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