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■51836
/ 親記事)
y=e^xの法線
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□投稿者/ タ
一般人(1回)-(2022/04/09(Sat) 14:45:15)
xy平面で以下の集合が表す領域はどのようなものになるのか教えて下さい
{(p,q) | 点(p,q)を通るy=e^xの法線が2本(以上)存在する}
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■51837
/ ResNo.1)
Re[1]: y=e^xの法線
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□投稿者/ らすかる
一般人(13回)-(2022/04/09(Sat) 17:58:33)
2022/04/17(Sun) 12:50:31 編集(投稿者)
y=e^xの(t,e^t)における法線は
ye^t-e^(2t)=t-x
この法線が(p,q)を通るとき
qe^t-e^(2t)=t-p
f(t)=qe^t-e^(2t), g(t)=t-p とおくとf'(t)=qe^t-2e^(2t)
「y=f(x)とy=g(x)の交点が2個以上」⇔「f'(t)>1となるようなtが存在する」
qe^t-2e^(2t)>1が異なる2実数解を持つ条件はq>2√2であり
解はlog{{q-√(q^2-8)}/4}<t<log{{q+√(q^2-8)}/4}
y=g(x)が点(log{{q-√(q^2-8)}/4},f(log{{q-√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q-√(q^2-8)}/4}-f(log{{q-√(q^2-8)}/4})
=log{{q-√(q^2-8)}/4}-{q^2+4-q√(q^2-8)}/8
y=g(x)が点(log{{q+√(q^2-8)}/4},f(log{{q+√(q^2-8)}/4}))を通るとき
p=log{{q+√(q^2-8)}/4}-f(log{{q+√(q^2-8)}/4})
=log{{q+√(q^2-8)}/4}-{q^2+4+q√(q^2-8)}/8
なので、求める領域は
y>2√2 かつ
log{{y+√(y^2-8)}/4}-{y^2+4+y√(y^2-8)}/8≦x≦log{{y-√(y^2-8)}/4}-{y^2+4-y√(y^2-8)}/8
整理して
y>2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦12log2-8log{y+√(y^2-8)}+y√(y^2-8)
さらに整理すれば
y>2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦y√(y^2-8)-8arccosh(y/(2√2))
引用返信
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■51848
/ ResNo.2)
Re[2]: y=e^xの法線
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□投稿者/ 夕
一般人(1回)-(2022/04/17(Sun) 09:20:00)
ありがとうございます
思ったよりも難しいですね
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■No51837に返信(らすかるさんの記事) > 2022/04/17(Sun) 12:50:31 編集(投稿者) > > y=e^xの(t,e^t)における法線は > ye^t-e^(2t)=t-x > この法線が(p,q)を通るとき > qe^t-e^(2t)=t-p > f(t)=qe^t-e^(2t), g(t)=t-p とおくとf'(t)=qe^t-2e^(2t) > 「y=f(x)とy=g(x)の交点が2個以上」⇔「f'(t)>1となるようなtが存在する」 > qe^t-2e^(2t)>1が異なる2実数解を持つ条件はq>2√2であり > 解はlog{{q-√(q^2-8)}/4}<t<log{{q+√(q^2-8)}/4} > y=g(x)が点(log{{q-√(q^2-8)}/4},f(log{{q-√(q^2-8)}/4}))を通るとき > p=log{{q-√(q^2-8)}/4}-f(log{{q-√(q^2-8)}/4}) > =log{{q-√(q^2-8)}/4}-{q^2+4-q√(q^2-8)}/8 > y=g(x)が点(log{{q+√(q^2-8)}/4},f(log{{q+√(q^2-8)}/4}))を通るとき > p=log{{q+√(q^2-8)}/4}-f(log{{q+√(q^2-8)}/4}) > =log{{q+√(q^2-8)}/4}-{q^2+4+q√(q^2-8)}/8 > なので、求める領域は > y>2√2 かつ > log{{y+√(y^2-8)}/4}-{y^2+4+y√(y^2-8)}/8≦x≦log{{y-√(y^2-8)}/4}-{y^2+4-y√(y^2-8)}/8 > 整理して > y>2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦12log2-8log{y+√(y^2-8)}+y√(y^2-8) > さらに整理すれば > y>2√2 かつ |y^2+8x+4+4log2|≦y√(y^2-8)-8arccosh(y/(2√2)) >
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