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■51885 / 親記事) 　数列の極限
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□投稿者/ わずか 一般人(1回)-(2022/06/18(Sat) 01:09:40)
    実数の数列{a[n]}が
    na[n+1]=(n+1)a[n]-max{a[n],n^2} (n=1,2,3,‥)
    を満たしている
    lim[n→∞]a[n]/n^2を求めよ


    この問題を教えて下さい
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■51888 / ResNo.1) 　Re[1]: 数列の極限
□投稿者/ そう 一般人(1回)-(2022/06/19(Sun) 06:13:33)
    既にあなたがその問題を教えてくださっています。
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■51889 / ResNo.2) 　Re[1]: 数列の極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(16回)-(2022/06/20(Mon) 09:13:07)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは＾＾

    この問題については、次のようなステップで解けそうですね。

    ①　十分大きなｎに対してa［ｎ］≦ｎ＾２となることを示す。

    ②　十分大きなｎに対してa［ｎ］＝ｋｎ－ｎ＾２ （ｋ：定数）となることを示す。

    ③　よって極限値は－１になる。


    ①は、a［ｎ］＞ｎ＾となる間は条件式からa［ｎ＋１］＝a［ｎ］となることと、一旦ｎ＾２以下になったらその後もそうであることを帰納法で示せば導かれます。

    ②は、①を満たすｎにたいして条件式のｍaｘの項がｎ＾２になり、
    a［ｎ＋１］＝（ｎ＋１）／ｎ・a［ｎ］－ｎとなることから計算されます。

    各段階で引かれたｎが１段階ごとに（ｎ＋１）／ｎ倍されていくので、
    ｎ → ｎ＋１ → ｎ＋２ → ……

    となってｒ番目にはｒとなることに注目します。

    最初に①の条件が成り立つのがｎ＝ｍのときとし、a［ｍ］＝ｋとすると
    ｒ（≧ｍ）に対して

    a［ｒ］＝－ｒ（ｒ－ｍ）＋ｋｒ／ｍ

    となるので、求める極限値は－１になることがわかります。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは＾＾
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■51890 / ResNo.3) 　Re[2]: 数列の極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(17回)-(2022/06/20(Mon) 09:17:23)
http:///www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    ちょっと修正ですが、②でｋの文字を使ったので、その後に出てくる
    a［ｍ］＝ｋのところは別の文字、たとえばｐにしておいた方が
    混乱しにくくてよかったですね。
    なので、そのように訂正します。
    ではでは＾＾
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