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■51891 / 親記事) 　不等式
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□投稿者/ 教えてください 一般人(2回)-(2022/06/22(Wed) 21:36:55)
    においてであることの証明を教えてください。
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■51892 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/06/22(Wed) 22:52:10)
    証明すべき不等式を(A)とすると
    0＜x＜1 (B)
    により
    (A)⇔(4-πx)√(1+x)-4√(1-x)＞0
    ⇔{(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)}/{(4-πx)√(1+x)+4√(1-x)}＞0
    ⇔(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)＞0
    ⇔(x+1){(πx)^2-8πx+16}+16x-16＞0
    ⇔(π^2)x^3-8πx^2+32x+(πx)^2-8πx＞0
    ⇔(π^2)x^2-8πx+32+(π^2)x-8π＞0
    ⇔(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π＞0 (A)'
    ここで
    f(x)=(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π
    と置くと
    f(x)=(π^2){x^2-(8/π-1)x}+32-8π
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+32-8π-(4-π/2)^2
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+16-4π-(π^2)/4
    で
    0＜4/π-1/2＜1
    ゆえ
    f(x)≧16-4π-(π^2)/4＞16-3.2・4-(3.2^2)/4=16-12.8-2.56＞0
    ∴(A)'は成立するので(A)は成立します。
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■51893 / ResNo.2) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2022/06/22(Wed) 22:57:25)
    x=sint（0＜t＜π/2）とすると
    {√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}
    ={(1+x)-√(1-x^2)}/{x(1+x)}
    =(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}
    f(t)=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}とおくと
    f'(t)=(√2)cos(t+π/4)(sint+1)(cost-1)/{(sint)^2(1+sint)^2}
    となるのでf(t)は0＜t＜π/4で減少、π/4＜t＜π/2で増加
    すなわち{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}は
    0＜x＜1/√2で減少、1/√2＜x＜1で増加なので
    x=1/√2のとき最小値2√2-2をとることがわかる。
    49/25＜50/25=2
    7/5＜√2
    2√2-2＞4/5=0.8
    π＜3.2からπ/4＜0.8
    従って0＜x＜1で(与式)＞0.8＞π/4

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■51894 / ResNo.3) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ 教えてください 一般人(3回)-(2022/06/24(Fri) 11:03:37)
    どちらの方法も理解出来ました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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