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■52275 / 親記事) 　複素数と図形
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□投稿者/ sato 一般人(1回)-(2023/08/24(Thu) 20:43:57)
    異なる複素数α、β、γが2α^2+β^2+γ^2-2αβ-2αγ=0を満たすとき、
    (1) (γ-α)/(β-α) の値を求めよ。
    (2) 複素数平面上で、3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような三角形か。
    (3)α、β、γがxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき、α、β、γおよびkの値を求めよ。

    という問題です。

    (3)が質問です。

    解答の最初では以下のようになっています。

    　①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。
    よって、方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。
    　【①とは(1)の解答の中で、(γ-α)/(β-α)=±i とあります】

    質問１
    　「①からα、β、γの少なくとも1つは虚数である。」

    　これは、少なくとも1つが虚数でなければ、iが出てこないからという理解でよいでしょうか。

    質問２
    　　「方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)は1つの実数解と2つの虚数解をもつ。」

    　この説明で、例えば、「1つが虚数解で、2つが実数解」ということはありえないのでしょうか。

    以上2点よろしくお願いいたします。


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■52276 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数と図形
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2023/08/24(Thu) 22:05:51)
    質問１はその考え方でOKです。
    質問２に関して
    実数係数三次方程式の解は
    ・実数解１つのみ
    ・実数解２つのみ
    ・実数解３つのみ
    ・実数解１つと虚数解２つ
    の場合しかあり得ません。
    なぜなら、実数係数n次方程式において
    x=a+bi（b≠0）が解であるとき、x=a-biも必ず解になるからです。
    これにより、虚数解は必ず偶数個となります。

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