数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 係数 / Page: 0]

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■52299 / 親記事)

　係数

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□投稿者/ 係数一般人(1回)-(2023/09/06(Wed) 19:33:15)

Σ[k=0,∞](5x-3x^2)^kを展開して整理してa[0]+a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n+…
と表した時の係数a[n]はどのような式で表されるのか教えて下さい。

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■52300 / ResNo.1)

　Re[1]: 係数

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□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 00:25:22)

2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。

Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、
f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、
a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。

nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。
f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。

# おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、
# 上記の回答では期待外れでしょうけど。

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■52304 / ResNo.2)

　Re[2]: 係数

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□投稿者/ 係数一般人(2回)-(2023/09/08(Fri) 15:25:38)

ありがとうございます。ちなみにですが、a[n]>0になることって簡単に分かったりしますか？

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■52308 / ResNo.3)

　Re[1]: 係数

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□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)

3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。

よって、
1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
= (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
= (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
= (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
= (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
= (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}

但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。

# 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。

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■52309 / ResNo.4)

　私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！

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□投稿者/ Lambda Winner ＠一般人(1回)-(2023/09/11(Mon) 15:09:57)
http://xolotto.com/ja/

私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください！ハハハ、エッセイをたくさん書くように言ってもいいけど、数字を見ると頭が自動的に痛くなるみたい。とにかく高校の時、係数を勉強した記憶があってすごく大変でした。

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