 | ガリガリ解くと以下の通りです。
(お勧めはできませんが。)
tan(θ/2)=t
と置くと、
θ:0→π
に
t:0→∞
が対応し、
sinθ=2t/(1+t^2)
sin(θ/2)=t/√(1+t^2)
dθ=2dt/(1+t^2)
∴(与式)=2√2∫[t:0→∞]{(t√t)/(1+t^2)^2}dt
更に
√t=u
と置くと
t=u^2
dt=2udu
で
(与式)=4√2∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4√2{∫[u:0→∞]du/(1+u^4)-∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2} (A)
ここで
I=∫[u:0→∞]du/(1+u^4) (B)
とすると
I=[u/(1+u^4)][u:0→∞]+4∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4I-4∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2
∴∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2=(3/4)I
となるので(A)(B)から
(与式)=(√2)∫[u:0→∞]du/(1+u^4)
さて、
1+u^4=(1+u^2)^2-2u^2
=(u^2+u√2+1)(u^2-u√2+1)
に注意すると
1/(1+u^4)=(au+b)/(u^2+u√2+1)+(cu+d)/(u^2-u√2+1) (C)
(a,b,c,dは定数)
の形に部分分数分解でき、(C)の右辺を通分すると
((C)の右辺を通分したときの分子)=(u^2-u√2+1)(au+b)+(u^2+u√2+1)(cu+d)
=(a+c)u^3+(b+d-a√2+c√2)u^2+(a+c-b√2+d√2)u+b+d
∴(C)の両辺の係数比較により
a+c=0 (D)
b+d-a√2+c√2=0 (E)
a+c-b√2+d√2=0 (F)
b+d=1 (G)
(D)(E)(F)(G)を連立で解いて
(a,b,c,d)=(1/(2√2),1/2,-1/(2√2),1/2)
∴1/(1+u^4)=(u/√2+1)/{2(u^2+u√2+1)}+(-u/√2+1)/{2(u^2-u√2+1)}
となるので
(与式)=(1/2)∫[u:0→∞]{(u+√2)/(u^2+u√2+1)-(u-√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+2√2)/(u^2+u√2+1)-(2u-2√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+√2)/(u^2+u√2+1)+(√2)/{(u+1/√2)^2+1/2}
-(2u-√2)/(u^2-u√2+1)+(√2)/{(u-1/√2)^2+1/2}}du
=(1/4)[log{(u^2+u√2+1)/(u^2-u√2+1)}+2arctan(u√2+1)+2arctan(u√2-1)][u:0→∞]
=(1/4)・2π
=π/2
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