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■52368 / 親記事) 　i^iについて
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□投稿者/ たぬき 一般人(1回)-(2023/10/23(Mon) 22:19:11)
    オイラーの公式によりi=e^(iπ/2)だから、
    i^i=(e^(iπ/2))^i=e^((iπ/2)*i)=e^(-π/2)だと思います。

    一方、指数法則よりa≠0に対して(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bなので、
    a=e,c=0とすると、(e^b)^0=e^(b*0)=(e^0)^bですが、
    (e^b)^0=1かつe^(b*0)=e^0=1なので(e^0)^b=1^b=1だと思います。
    上記を使うと(i^i)^4=(i^4)^i=1^i=1となるので、
    i^iは1の4乗根の±1か±iのどれかということになり、
    e^(-π/2)に一致しません。

    どこが間違っているのでしょうか?
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■52369 / ResNo.1) 　Re[1]: i^iについて
□投稿者/ らすかる 一般人(25回)-(2023/10/23(Mon) 23:25:39)
    (a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bという指数法則は
    ・aが0以外の実数かつbとcが整数
    ・a＞0かつbとcが実数
    のときは成り立ちますが、それ以外の時は一般に成り立ちません。
    （つまり虚数には使えません。）

    i^i=e^(-π/2)も違います。
    i^i=e^(ilogi)=e^{i(log|i|+iargi)}=e^{i(i(π/2+2nπ))}=e^(-π/2-2nπ)
    のように多価になります。

    1^i=1も違います。
    1^i=e^(ilog1)=e^{i(log|1|+iarg1)}=e^{i(i(2nπ)}=e^(-2nπ)
    のように、これも多価になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52370 / ResNo.2) 　Re[1]: i^iについて
□投稿者/ たぬき 一般人(2回)-(2023/10/23(Mon) 23:45:55)
    指数関数は周期2πiを持ち、対数関数は複素数では多価関数となるのを忘れていました。
    回答ありがとうございました。
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