数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 三角形 / Page: 0]

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■52415 / 親記事)

　三角形

▼■

□投稿者/ バイアス一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)

△OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
が成り立つことを示せ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52420 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)

2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
∴(A)を証明します。

((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
=2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
((∵)和積の公式と半角の公式)
=2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
=2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
ここで
0＜A＜π,0＜B＜π,0＜θ＜π (P)
A+B+θ=π (Q)
∴
0＜A+B＜π
なので
sin(A+B)＞0 (C)
更に(P)(Q)より
0＜(A+B)/2＜π/2
-π/2＜(A-B)/2＜π/2
又、
(A+B)/2=(A-B)/2=0
とはなりえないので
cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}＜1 (D)
(C)(D)より
(B)＞0
よって(A)は成立します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

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