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■52415 / 親記事)  三角形
  
□投稿者/ バイアス 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:47:35)
    △OABにおいて角Oの大きさをθラジアンとする。
    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)
    が成り立つことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52420 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 07:59:07)
    2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)

    2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理
    ⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A)
    ∴(A)を証明します。

    ((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB)
    =2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2
    ((∵)和積の公式と半角の公式)
    =2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}
    =2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B)
    ここで
    0<A<π,0<B<π,0<θ<π (P)
    A+B+θ=π (Q)

    0<A+B<π
    なので
    sin(A+B)>0 (C)
    更に(P)(Q)より
    0<(A+B)/2<π/2
    -π/2<(A-B)/2<π/2
    又、
    (A+B)/2=(A-B)/2=0
    とはなりえないので
    cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}<1 (D)
    (C)(D)より
    (B)>0
    よって(A)は成立します。
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