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■52416 / 親記事) 　複素数
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□投稿者/ はんなり 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)
    α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
    直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

    教えて下さい。
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■52419 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)
    2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

    条件から
    d[k]=|(1+α^k)/2|
    ∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
    d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
    =(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
    =(1/4){2+α^k+\(α^k)}
    更にθ=2π/11と置くと
    d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
    ={cos(kθ/2)}^2
    ここでk=1,2,3,4,5より
    kθ/2＜π/2
    ∴d[k]=cos(kθ/2)
    となるので
    e^(iθ/2)=β
    と置くと
    β^11=-1
    d[k]=(β^k+1/β^k)/2
    よって
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1〜5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
    =(1/2)Σ[k=1〜5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
    =(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
    =(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
    =(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
    =(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
    =1/2
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■52434 / ResNo.2) 　Re[2]: 複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)
    ありがとうございました！
解決済み!
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