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■52463 / 親記事) 　tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
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□投稿者/ スフィンクス 一般人(1回)-(2024/02/06(Tue) 00:21:31)
    tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開するときの係数 c_1 を求める。

    c_1
    = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan(z) }/(2！)
    = lim[z→π/2] (d/dz) { tan(z) + (z - π/2)/(cos(z))^2 }/2
    = lim[z→π/2] { 2/(cos(z))^2 + (z - π/2)(2 sin(z))/(cos(z))^3 }/2
    = lim[z→π/2] { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) }/(cos(z))^3
    = lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) } }/{ (d/dz) (cos(z))^3 }
    = lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
    = lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)
    = (-1/3)(1/1)/{ -1 }
    = 1/3.

    　A)から(B)の変形をもう少し詳しく教えてください。また、(B)の分母
    　　(cos(z) - 0)/(z - π/2)
    がz→π/2で-1になるのもよくわかりません。
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■52464 / ResNo.1) 　Re[1]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2024/02/06(Tue) 08:16:21)
    計算の部分だけ
    > { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z)){(z-π/2)/cos(z)}
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z))/{cos(z)/(z-π/2)}
    > (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)

    # あえて{(z-π/2)/cos(z)}を1/{(z-π/2)/cos(z)}変形する必要はないと思うけど
    # 模範解答(?)がそうなっているのなら仕方ない。

    cos(π/2) = 0だから、
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](cos(z)-cos(π/2))/(z-π/2)
    = cos'(π/2)
    = -sin(π/2)
    = -1

    或いはz→π/2で、(cos(z)-0)→0かつ(z-π/2)→0だから、ロピタルの定理より
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](-sin(z))/1
    = -1
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■52465 / ResNo.2) 　Re[2]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ スフィンクス 一般人(2回)-(2024/02/06(Tue) 16:11:31)
    丁寧な回答まことにありがとうございました。

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