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■52473 / 親記事)  相関係数と共分散
  
□投稿者/ robo 一般人(5回)-(2024/02/22(Thu) 08:25:39)
    3つの試験科目の得点を標準化したものをそれぞれX1、X2、X3とする。
    X1とX2の相関係数をρ12、X2とX3の相関係数をρ23、X3とX1の相関係数をρ31とする。
    標準化しているので、V[X1]=V[X2}=V[X3}=1である。
    XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
    cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか?X1とX1/3の共分散は1/3ですか?
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■52474 / ResNo.1)  Re[1]: 相関係数と共分散
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(1回)-(2024/02/24(Sat) 19:17:01)
    >cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか?
    はい、そうです。
    まずE[X_i]=0と期待値の線形性からE[(X_1+X_2+X_3)/3]=(E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])/3=0
    またX_iは標準化されているのでV[X_i]=E[(X_i-E[X_i])^2]=E[X_i^2]=1
    さらにCov(X_i,X_j)=E[(X_i-E[X_i])*(X_j-E[X_j])]=E[X_i,X_j]
    >XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
    よって
    Cov(X_1,(X_1+X_2+X_3)/3)
    =E[(X_1-E[X_1])*( (X_1+X_2+X_3)/3-E[(X_1+X_2+X_3)/3])]
    =E[X_1*(X_1+X_2+X_3)/3]
    =(E[X_1^2]+E[X_1*X_2]+E[X_1*X_3])/3
    =(V[X_1]+Cov(X_1,X_2)+Cov(X_1,X_3))/3
    =(1+ρ_{12}+ρ_{13})/3


    >X1とX1/3の共分散は1/3ですか?
    はい、そうです。
    Cov(X_1、X_1/3)=E[X_1*(X_1/3)]=E[X_1^2]/3=V[X_1]/3=1/3

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