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■52506 / 親記事) 　進数の表現
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□投稿者/ tass 一般人(1回)-(2024/04/17(Wed) 10:14:07)
    b進数の整数の表現のためのコストをlog[b]（M＋1）*bと定義する時、値が最小になるb（＞=2）を求めよ。

    例:10進数で0から999999までの整数を表現するコストはlog[10]（100000）*10

    解き方が分かりません！やり方を教えてください
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■52507 / ResNo.1) 　Re[1]: 進数の表現
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2024/04/17(Wed) 13:11:13)
    f(b)=blog[b](M+1)=log(M+1)・b/logbとおくと
    f'(b)=log(M+1)・(logb-1)/(logb)^2
    bが実数ならばlogb-1=0すなわちb=eのときにf(b)が最小値をとるから、
    bが整数の場合の最小値はf(2)かf(3)のどちらか。
    2/log2=4/(2log2)=4/log4からf(2)=f(4)であり
    f(3)＜f(4)だから、f(3)＜f(2)となりb=3のとき最小。

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■52508 / ResNo.2) 　Re[1]: 進数の表現
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2024/04/17(Wed) 13:34:28)
    # らすかるさんが既にコメントされていますが、私も一生懸命下書きを作ったので書き込ませて頂きます。

    質問の問題文が曖昧だと思います。

    Mが定義されていないので、何の値かが不明です。
    > 例:10進数で0から999999までの整数を表現するコストはlog[10]（100000）*10

    「例」での数の範囲「10進数で0から999999まで」に含まれる整数の個数は1000000個で、
    「log[10]（100000）*10」の100000は0が1つ(1桁)少ないのは何故? 書き間違い???

    以下、私の想像で補った解釈で回答しますので、話半分に聞いといてください。
    ・「b進数」「b（＞=2）」ということなので、bは2以上の整数である。
    ・Mを固定して、log[b](M+1)*bを最小にするbを求めれば良い。

    自然対数をlnで表すことにします。b ≧ 2に対して
    f(b) = log[b](M+1)*b = ln(M+1)*{b/ln(b)}とおきます。

    f'(b) = ln(M+1)*{(1*ln(b)-b*(1/b))/(ln(b)^2)} = ln(M+1)*{(ln(b)-1)/(ln(b)^2)}
    eを自然対数の底とすれば、
    2 ≦ b < eで、f'(b) < 0なので、f(b)は減少
    b = eで、f'(b) = 0なので、f(b)は極小
    e < bで、f'(b) > 0なので、f(b)は増加

    2 < e < 3かつ、bは整数なので、b = 2またはb = 3でf(b)は最小になります。
    f(2) = ln(M+1)*{2/ln(2)}
    f(3) = ln(M+1)*{3/ln(3)}
    ⇒ f(2)/f(3) = (2/3){ln(3)/ln(2)} = log[2](3^(2/3)) = log[2](9^(1/3)) > log[2](8^(1/3)) = log[2](2) = 1
    ⇒ f(2) > f(3)

    よって、b = 3のとき、f(b) = log[b](M+1)*bは最小になります。
    # f(b)が最小になるbの値がMに依存しないので、問題文がおかしい気がする。
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■52509 / ResNo.3) 　Re[2]: 進数の表現
□投稿者/ tass 一般人(2回)-(2024/04/17(Wed) 14:10:41)
    ありがとうございます&#128583;&#8205;♀&#65039;
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■52510 / ResNo.4) 　Re[2]: 進数の表現
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2024/04/17(Wed) 17:03:27)
    2024/04/17(Wed) 17:04:13 編集(投稿者)

    > WIZさん
    「何進法が最も効率が良いか」という話ですので、Mに依存しないのは問題ないと思います。
    また、Mは具体例（というか、ここでいう「コスト」の意味）を考えやすいように定めたものと思います。
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