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■52523 / 親記事) 　フーリエ級数展開・フーリエ変換
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□投稿者/ tass 一般人(4回)-(2024/05/11(Sat) 20:01:56)
    フーリエ級数展開とフーリエ変換が分かりません！
    他の項目は大体理解できたのですが、この範囲の解き方が分かりません。
    よろしくお願いします。
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■52524 / ResNo.1) 　Re[1]: フーリエ級数展開・フーリエ変換
□投稿者/ tass 一般人(5回)-(2024/05/15(Wed) 02:22:55)
    ■No52523に返信(tassさんの記事)
    > フーリエ級数展開とフーリエ変換が分かりません！
    > 他の項目は大体理解できたのですが、この範囲の解き方が分かりません。
    > よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52525 / ResNo.2) 　Re[1]: フーリエ級数展開・フーリエ変換
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2024/05/16(Thu) 16:12:12)
    2024/05/19(Sun) 09:55:57 編集(投稿者)

    3-1
    定義に従ってフーリエ展開をします。
    cosの項、sinの項の係数の積分を使った計算式は教科書などに書かれていますが
    確認していますか？
    ちなみに問題の関数は奇関数ですので
    cosの項の係数は0になります。

    答えは
    x(t)=(4/π)Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}sin{2π(2n-1)t/T}
    (「矩形波　フーリエ展開」でネット検索してみて下さい。
    専門が電気であるなら、パワーエレクトロニクス関係で出てくる公式です。)

    3-2
    これは複素フーリエ展開が何なのか理解できていれば、
    積分を使ってe^(jnπt),e^(-jnπt)の係数を計算する
    必要はありません。
    条件から
    (cosπt)^2=(1+cos2πt)/2
    =1/2+(1/4){e^(j2πt)+e^(-j2πt)} (∵)オイラーの公式
    =1/2+(1/4)e^(j2πt)+(1/4)e^(-j2πt)
    項数が有限ですが、これで複素フーリエ展開になります。

    3-3
    フーリエ変換の定義をそのまま使うだけです。
    (左辺)=∫[-∞→∞]{f(t)e^(jω[0]t)}{e^(-jωt)}dt
    =∫[-∞→∞]{f(t)e^{-j(ω-ω[0])t}}dt
    =(右辺)

    3-4
    (1)
    δ関数の性質である
    ∫[-∞→∞]f(t)δ(t)dt=f(0)
    は頭に入っていますか？
    ここから
    ∫[-∞→∞]f(t)δ(t-τ)dt=f(τ)
    となります。
    ということで
    フーリエ変換の定義とδ関数の性質により
    F[x(t)]=x(τ)e^(-jωτ)

    (2)
    オイラーの公式により
    x(t)={1/(2j)}e^(jω[0]t)-{1/(2j)}e^(-jω[0]t)
    ここでフーリエ逆変換の定義とδ関数の性質により
    F^(-1)[δ(ω-ω[0])]={1/(2π)}e^(jω[0]t)
    F^(-1)[δ(ω+ω[0])]={1/(2π)}e^(-jω[0]t)
    ∴F[x(t)]=2π[{1/(2j)}δ(ω-ω[0])-{1/(2j)}δ(ω+ω[0])}
    =-jπ{δ(ω-ω[0])-δ(ω+ω[0])}
    注)フーリエ変換の定義の流儀により、係数が異なる結果になるかもしれません。
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