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■52534 / 親記事) 　微積分
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□投稿者/ 蘭ねえちゃん 一般人(1回)-(2024/06/04(Tue) 11:06:34)
    実数から実数への微分可能な関数f(x)が、任意の実数x,yに対して
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    を満たしています。f'(0)=1であるとき、
    ∫[0→1]f(x)dx>17/28
    となることの証明をお教え下さい。
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■52603 / ResNo.1) 　Re[1]: 微積分
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2024/08/17(Sat) 21:57:14)
    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    ↓x=y=0とすると
    {f(0)}^3=-f(0)
    {f(0)}^3+f(0)=0
    f(0)({f(0)}^2+1)=0
    ∴
    f(0)=0

    f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y)-f(x)-f(y)
    f(x+y)f(x)f(y)+f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)=f(x+y)-f(x)
    {f(x+y)f(x)+1}f(y)/y={f(x+y)-f(x)}/y
    lim[y→0]{f(x+y)f(x)+1}f(y)/y=lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y

    ({f(x)}^2+1)f'(0)=f'(x)
    ↓f'(0)=1だから
    {f(x)}^2+1=f'(x)

    f'/(1+f^2)=1
    ∫{1/(1+f^2)}df=x+C

    f=tan(t)
    df=(1/{cos(t)}^2)dt
    1/(1+f^2)=1/(1+{tan(t)}^2)={cos(t)}^2

    arctan(f)=x+C

    f(x)=tan(x+C)
    0=f(0)=tan(C)
    C=0
    ∴
    f(x)=tan(x)

    ∫[0→1]f(x)dx
    =∫[0→1]tan(x)dx
    =∫[0→1]{sin(x)/cos(x)}dx
    =∫[1→cos1](-1/t)dt
    =[-log|t|][1→cos1]
    =-log|cos1|
    =log(1/cos1)
    >0.61
    >17/28
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