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■52538 / 親記事) 　約数の個数
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□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(1回)-(2024/06/07(Fri) 19:39:01)
    自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求めよ。

    お願いします。
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■52543 / ResNo.1) 　Re[1]: 約数の個数
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/06/11(Tue) 15:31:23)
    n=12の約数{1,2,3,4,6,12}の個数は6=√36=√(3*12)=√(3n)
    だから
    n=12
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■52544 / ResNo.2) 　Re[2]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(2回)-(2024/06/11(Tue) 20:22:47)
    他には無いのでしょうか？
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■52545 / ResNo.3) 　Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/06/12(Wed) 19:10:40)
    n=2^p・3^q・N（p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数）とすると
    Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下
    Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは
    k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個
    従って自然数nの約数の個数は
    (p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下
    √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと
    N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
    f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので
    非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4
    g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので
    非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9
    1/(1-log[5]4)＞1なので
    (p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)＜1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし
    従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。

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■52546 / ResNo.4) 　Re[4]: 約数の個数
□投稿者/ ヤンニョムチキン 一般人(3回)-(2024/06/13(Thu) 13:23:05)
    理解出来ました。
    有難うございます。

    素因数の個数を(ω(n)ではなく)Ω(n)の意味で使っているんですね。
    //ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0
解決済み!
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■52568 / ResNo.5) 　Re[3]: 約数の個数
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/07/14(Sun) 09:54:41)
    x(p)≧0は整数
    n=Π[pは素数]p^{x(p)}
    とする
    √(3n)≦Π{pは素数}{1+x(p)}
    ↓両辺を2乗すると
    3n≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
    ↓
    3Π[pは素数]p^{x(p)}≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2
    ↓
    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}

    f{p}(x)=(1+x)^2/p^x
    とすると
    f'{p}(x)=(1+x){2-(1+x)logp}/p^x
    x>2/logp-1のときf'{p}(x)<0だからf{p}(x)は減少
    f{p}(0)=1
    f{2}(1)=2

    p=2のときx≧2>2/log2-1のときf{2}(x)は減少
    (1+x)^2/2^x≦f{2}(2)=9/4
    f{2}(x)はx=2で最大値9/4になる

    p≧3のときx≧1>2/log-1のときf{p}(x)は減少

    p=3のとき
    (1+x)^2/3^x≦f{3}(1)=4/3
    f{3}(x)はx=1で最大値4/3になる

    p≧5のとき
    f{p}(1)=4/p<1=f{p}(0)
    (1+x)^2/p^x≦f{p}(0)=1
    f{p}(x)はx=0で最大値1になる

    3≦Π{pは素数}{1+x(p)}^2/p^{x(p)}≦f{2}(2)f{3}(1)Π{素数p≧5}f{p}(0)=(9/4)(4/3)・1=3
    ∴
    n=2^2・3^1=12
1000×1000 => 250×250

m202406281353.jpg/99KB
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