![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | n=2^p・3^q・N(p,qは非負整数、Nは2でも3でも割り切れない自然数)とすると Nの素因数は最小で5なのでNの素因数の個数はlog[5]N以下 Nの素因数がk個のとき、約数の個数が最大となるのは k個の素因数がすべて異なるときで、2^k個 従って自然数nの約数の個数は (p+1)(q+1)・2^(log[5]N)=(p+1)(q+1)・N^(log[5]2)以下 √(3n)=√(3・2^p・3^q・N)≦(p+1)(q+1)・N^(log[5]2) を解くと N≦{(p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1) f(p)=(p+1)^2/2^pはp=2/log2-1≒1.88539のとき極大でf(1)=2,f(2)=9/4,f(3)=2なので 非負整数pに対してf(p)の最大値はf(2)=9/4 g(q)=(q+1)^2/3^(q+1)はq=2/log3-1≒0.82048のとき極大でg(0)=1/3,g(1)=4/9,g(2)=1/3なので 非負整数qに対してg(q)の最大値はg(1)=4/9 1/(1-log[5]4)>1なので (p+1)^2/2^p・(q+1)^2/3^(q+1)<1のとき(1)の右辺が1未満となり解なし 従って(1)を満たす解はp=2かつq=1かつN=1のみなので、元の問題の解はn=12のみ。
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