数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 部分分数分解 / Page: 0]

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■52539 / 親記事)

　部分分数分解

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□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(1回)-(2024/06/10(Mon) 12:19:33)

1/(x^n-1)の部分分数分解ってどうやるのでしょうか？
nは正の整数で、複素数範囲です。

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■52540 / ResNo.1)

　Re[1]: 部分分数分解

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□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 14:12:29)

小さいnで試してみたところ、
(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)/(x-exp(2kπi/n))}
のように分解できるようです。

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■52541 / ResNo.2)

　Re[2]: 部分分数分解

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□投稿者/ X 一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 16:15:56)

横から失礼します。

1/(x^n-1)=Σ[k=0～n-1]a[k]/{x-exp(2kπi/n)}
と部分分数分解できるとすると
a[k]=lim[x→exp(2kπi/n)]{x-exp(2kπi/n)}/(x^n-1)
∴f(z)=z^n
とすると、(複素関数の範囲での)微分係数の定義により
a[k]=1/f'(exp(2kπi/n))=1/{n{exp(2kπi/n)}^(n-1)}
=(1/n)exp(2kπi/n)
∴1/(x^n-1)=(1/n)Σ[k=0～n-1]{exp(2kπi/n)}/{x-exp(2kπi/n)}

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■52542 / ResNo.3)

　Re[3]: 部分分数分解

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□投稿者/ ぶぶんぶん一般人(2回)-(2024/06/10(Mon) 18:45:10)

ありがとうございます。
理解できました。

解決済み!

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