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■52547 / 親記事)

　体

□投稿者/ 身一般人(1回)-(2024/06/18(Tue) 23:27:24)

$2$\mathbb{Q} \left( \sqrt2 +\sqrt3 \right)= \mathbb{Q} \left( \sqrt2 +a\sqrt3 \right)$
となる $2$a\in \mathbb{Q}$ をすべて求めるにはどうすればいいのでしょうか？

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■52548 / ResNo.1)

　Re[1]: 体

▲▼■

□投稿者/ ahoo 一般人(3回)-(2024/06/19(Wed) 21:43:34)

$2$\forall a\,\in\,\mathbb{Q}$ に対して明らかに $2$\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}),\qquad \therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ だが, 逆に
$2$\sqrt{2}\,=\,((\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})^2\,+\,2\,-\,3\,a^2)/(2(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a\,\in\,\mathbb{Q}),$
$2$\sqrt{3}\,=\,((\sqrt{2}\,+a\,\sqrt{3})^2\,+\,3\,a^2\,-\,2)/(2\,a(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}))\,\in\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})\qquad(\forall a(a\,\in\,\mathbb{Q}\;\wedge\;a\,\ne\,0)$
だから $2$a\,\ne\,0$ のとき $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\,\subset\,\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).\qquad\therefore \mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3}).$ (とくに $2$a\,=\,1$ として $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\,=\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$ )
だから, 結局 $2$\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,a\,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3})\;\Longleftrightarrow\;a\,\ne\,0\;(\in\,\mathbb{Q}).$

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■52549 / ResNo.2)

　Re[2]: 体

▲▼■

□投稿者/ ahoo 一般人(4回)-(2024/06/19(Wed) 22:19:30)

式はもっと直截的に
　 $2$\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3}\; =\; \frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})^2\ +\ (2\ -\ 3\,a^2)(a\ -\ 1)}{2\,a(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}),$
　 $2$\sqrt{2}\ +\ a\,\sqrt{3}\;=\;\frac{(a\ +\ 1)(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})^2\ +\ (a\ - \ 1)}{2(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})}\;\in\;\mathbb{Q}(\sqrt{2}\ +\ \sqrt{3})$
でもいいが.

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■52550 / ResNo.3)

　Re[3]: 体

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□投稿者/ 身一般人(2回)-(2024/06/20(Thu) 10:25:07)

納得です！ありがとうございます！

解決済み!

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