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■52566 / 親記事) 　平方数
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□投稿者/ 孫子 一般人(1回)-(2024/07/10(Wed) 12:30:22)
    自然数nで3^n-2^n-1が平方数となるものをすべて求めたいのでお願いします。
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■52569 / ResNo.1) 　Re[1]: 平方数
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2024/07/14(Sun) 17:05:55)
    3^n-2^n-1
    n=1のとき
    3^1-2^1-1=3-2-1=0は平方数
    n=2のとき
    3^2-2^2-1=9-4-1=4は平方数
    n=4のとき
    3^4-2^4-1=81-16-1=64は平方数

    nが3以上の奇数のとき
    n=2k+1となる自然数kがある
    3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
    2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
    となる整数mがあるから
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

    nが6以上の偶数のとき
    n=2kとなる自然数kがある
    3^(2k)-2^(2k)-1
    が平方数であると仮定すると
    3^(2k)-2^(2k)-1=x^2
    となる整数xがある
    3^(2k)-2^(2k)=1+x^2
    (3^k+2^k)(3^k-2^k)=1+x^2
    右辺1+x^2は実数の範囲で分解できない既約多項式
    3^k+2^k>3^k-2^k>0だから
    3^k-2^k=1でなければならないから
    k=1
    n=2となってn≧6に矛盾するから
    3^(2k)-2^(2k)-1
    は平方数ではないから

    n=1
    n=2
    n=4
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■52570 / ResNo.2) 　Re[1]: 平方数
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2024/07/14(Sun) 19:11:26)
    訂正です

    3^n-2^n-1
    n=1のとき
    3^1-2^1-1=3-2-1=0
    n=2のとき
    3^2-2^2-1=9-4-1=4
    n=4のとき
    3^4-2^4-1=81-16-1=64

    nが3以上の奇数のとき
    n=2k+1となる自然数kがある
    3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
    2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
    となる整数mがあるから
    3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

    n=2(2k+1)となる自然数kがあるとき
    3^{2(2k+1)}=9^(2k+1)=9(81^k)=9(16*5+1)^k=9(mod16)
    2^{2(2k+1)}=4^(2k+1)=4(16^k)=0(mod16)
    3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(mod16)
    3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=16m+8=8(2m+1)
    となる整数mがあるから
    3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(2m+1)は平方数ではない

    n=4(2k+1)となる自然数kがあるとき
    3^{4(2k+1)}=81^(2k+1)=81(6561)^k=(32*2+17)(205*32+1)^k=17{mod(32)}
    2^{4(2k+1)}=16^(2k+1)=16(256)^k=0{mod(32)}
    3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(mod32)
    3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=(3^{2(2k+1)}+2^{2(2k+1)})(3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)})-1≧3^6+2^6-1>16
    3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=32m+16=16(2m+1)
    となる自然数mがあるから
    3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(2m+1)は平方数ではない

    n=(2^j)(2k+1),j≧3,k≧0となる自然数jと整数kがあるとき

    3^{(2^j)(2k+1)}=(3^{2^j})^(2k+1)=(3^{2^j})(9^{2^j})^k=1+2^(j+2){mod(2^(j+3))}
    2^{(2^j)(2k+1)}=(2^{2^j})^(2k+1)=(2^{2^j})(4^{2^j})^k=0{mod(2^{j+3})}
    3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=2^(j+2){mod(2^{j+3})}
    3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}
    となる自然数mがあるから
    3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}は平方数ではない

    n=1
    n=2
    n=4

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■52582 / ResNo.3) 　Re[2]: 平方数
□投稿者/ 孫子 一般人(3回)-(2024/07/21(Sun) 16:45:11)
    ありがとうございました。
    とても参考になりました。
解決済み!
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