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■52587 / 親記事) 　ζ関数
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□投稿者/ ζ 一般人(1回)-(2024/08/03(Sat) 18:15:00)
    ζ(11)/11-ζ(13)/13<1/60
    を示して下さい
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■52648 / ResNo.1) 　Re[1]: ζ関数
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2024/12/05(Thu) 21:07:26)
    a>2
    n≦t≦n+1
    n^a≦t^a≦(n+1)^a
    (n+1)^(-a)≦t^(-a)≦n^(-a)
    (n+1)^(-a)≦∫[n〜n+1]t^(-a)dt≦n^(-a)

    Σ[n=3〜N+1]n^(-a)≦∫[2〜N+1]t^(-a)dt≦Σ[n=2〜N]n^(-a)

    Σ[n=1〜N+1]n^(-a)
    ≦1+1/2^a+∫[2〜N+1]t^(-a)dt
    =1+1/2^a+[t^(1-a)/(1-a)][2〜N+1]
    =1+1/2^a+(2^{1-a}-(N+1)^{1-a})/(a-1)
    ≦1+1/2^{a-1}

    1+1/2^a≦Σ[n=1〜N+1]n^(-a)≦1+1/2^{a-1}
    ↓N→∞とすると
    1+1/2^a≦Σ[n=1〜∞]1/n^a≦1+1/2^{a-1}
    ↓ζ(a)=Σ[n=1〜∞]1/n^aだから
    1+1/2^a≦ζ(a)≦1+1/2^{a-1}

    1+1/2^11≦ζ(11)≦1+1/2^10
    (1+1/2^11)/11≦ζ(11)/11≦(1+1/2^10)/11

    1+1/2^13≦ζ(13)≦1+1/2^12
    (1+1/2^13)/13≦ζ(13)/13≦(1+1/2^12)/13

    -ζ(13)/13≦-(1+1/2^13)/13

    ζ(11)/11-ζ(13)/13
    ≦(1+1/2^10)/11-(1+1/2^13)/13
    =1/11-1/13+(1/2^10){1/11-1/104}
    =2/143+(1/2^10)(93/1144)
    <2/140+1/1024
    <1/70+1/420
    =1/60

    ∴
    ζ(11)/11-ζ(13)/13<1/60
1000×1000 => 250×250

m2024080318.jpg/124KB
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