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■52588 / 親記事) 　場合の数
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□投稿者/ パリンピック 一般人(1回)-(2024/08/06(Tue) 08:59:02)
    ある運動競技会では、奇数2n-1人の参加者全員に、金メダル、銀メダル、銅メダルのいずれかを1枚ずつ渡します
    金メダルの人、銀メダルの人、銅メダルの人の数がすべて奇数となる渡し方は何通りですか？
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■52590 / ResNo.1) 　Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2024/08/06(Tue) 11:16:27)
    求める渡し方をp[2n-1]とすると
    2n-1人に金銀銅すべて奇数となるように渡す方法はp[2n-1]通り
    偶奇関係なく渡す方法は3^(2n-1)通りなので
    金銀銅のうちどれか一つだけ奇数になるように渡す方法は3^(2n-1)-p[2n-1]通り
    最初の2n-3人に渡す方法は全部で3^(2n-3)通りあり、
    そのうち金銀銅すべて奇数であるp[2n-3]通りに対して
    残り2人に渡した結果も金銀銅すべて奇数になるためには
    残りの2人に金金・銀銀・銅銅のいずれかを渡さなければならないため
    3p[2n-3]通り
    また金銀銅のうちどれか一つだけ奇数である3^(2n-3)-p[2n-3]通りに対して
    残り2人に渡した結果が金銀銅すべて奇数になるためには
    残りの2人に偶数である2種類のメダルを渡さなければならないため
    （2人に決まった2種類のメダルを渡す方法は2通りなので）
    2(3^(2n-3)-p[2n-3])通り
    よって
    p[2n-1]={3p[2n-3]}+{2(3^(2n-3)-p[2n-3])}=2・3^(2n-3)+p[2n-3]
    =2・3^(2n-3)+2・3^(2n-5)+p[2n-5]
    =2・3^(2n-3)+2・3^(2n-5)+2・3^(2n-7)+p[2n-7]
    =・・・
    =2・3^(2n-3)+2・3^(2n-5)+2・3^(2n-7)+…+2・3^1+p[1]
    p[1]=0なので、n≧2に対して
    p[2n-1]=Σ[k=1〜n-1]2・3^(2k-1)
    ={3^(2n-1)-3}/4
    これはn=1のときも成り立つ
    従って求める渡し方は
    {3^(2n-1)-3}/4通り

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■52593 / ResNo.2) 　Re[2]: 場合の数
□投稿者/ パリンピック 一般人(2回)-(2024/08/07(Wed) 08:27:13)
    なるほど！！
    こんな素晴らしい方法があるのですね
    ありがとうございました
解決済み!
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