数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 場合の数 (カタラン数に関係したもの) / Page: 0]

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■52620 / 親記事)

　場合の数 (カタラン数に関係したもの)

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□投稿者/ レモン一般人(1回)-(2024/10/27(Sun) 10:55:15)

nは正の整数、kは0以上の整数とします。
(x,y)座標平面上で(0,0)から(n,n+k)まで格子をたどって進む最短経路のうち、
常にx+k≧yの部分を通るものの総数とその求め方を教えてください。

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■52621 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数 (カタラン数に関係したもの)

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□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2024/10/27(Sun) 16:38:01)

x+k≧yという条件がなければ(2n+k)Cn通り
x+k＜yの領域を通るものは、最初にy=x+k+1に到達した点から先の経路を
y=x+k+1に関して対称に移動すれば、最終到達点は(n-1,n+k+1)となり
この経路は(2n+k)C(n-1)通り
従って求める経路の総数は
(2n+k)Cn-(2n+k)C(n-1)=(k+1)(2n+k)!/{n!(n+k+1)!}=(k+1)/(n+k+1)・(2n+k)Cn通り

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■52622 / ResNo.2)

　Re[2]: 場合の数 (カタラン数に関係したもの)

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□投稿者/ レモン一般人(2回)-(2024/10/28(Mon) 04:07:16)

ありがとうございます！

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