数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 整数問題 / Page: 0]

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■52686 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ 三毛猫一般人(4回)-(2025/02/14(Fri) 00:19:12)

自然数a,bに対して(a^3+b^3)/(a^2*b^2+1)が自然数になるとき、
必ず3乗数になるらしいのですが、その証明はどうやるのでしょうか?

(a^2+b^2)/(ab+1)が自然数になるとき平方数になるというのはIMO過去問らしく、
解説はたくさん見つけられるのですが・・・。

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■52687 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ 検索しただけの人一般人(1回)-(2025/02/14(Fri) 04:08:22)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h349211p1879023

内容は確認してないけど…

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■52690 / ResNo.2)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ 三毛猫一般人(5回)-(2025/02/14(Fri) 21:10:29)

リンク先教えて頂きありがとうございます。
ただ、一部が書かれていないのか、表示されてないのか分かりませんが、
証明の全貌が見えません。
一応もう少し、リンク先の書き込みを参考に考えてみます。

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■52693 / ResNo.3)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ 検索しただけの人一般人(3回)-(2025/02/15(Sat) 07:52:32)

なぜ表示されないのかよく分からないけど、
考えてみると、なんとも便利なことに、
リンク先の掲示板からこの掲示板へ
丸ごとコピペできますね。

We have $2$ a = b, \; k=\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1=1^n$
Now assume that $2$a,b,k,n \in \mathbb{N}^+, \; a<b,\;n>1,\; a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$
(1) If $2$k > a^n$ then $2$k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$
$2$\quad \quad$ thus $2$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$ . which cannot happen.
(2) If $2$k < a^n$ , then $2$ka^{n-1}-b = \displaystyle{\frac{a^n-k}{b^{n-1}}} < a$ , $2$ka^{n-1} < a+b$ , $2$(k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$
Thus $2$k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} >$ $2$ (a^{n-1})^{n-1} \ge a^n$ ,
that's wrong and so $2$k=1=1^n$
(3) If $2$k = a^n$ then $2$b=ka^{n-1}=a^{2n-1} \; b^n = a^{2n^2-n} = a^{2n(n-1) + n}$ hence $2$\displaystyle{\frac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}=\frac{a^n(1+a^{2n(n-1)})}{(a^{2n})^{n-1}+1}} = a^n$

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■52694 / ResNo.4)

　Re[4]: 整数問題

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□投稿者/ 三毛猫一般人(6回)-(2025/02/15(Sat) 20:37:17)

再度対応ありがとうございます。
この掲示板にコピペして頂いた方も私の環境ではTeXが文字化けしてしまい読めませんでしたが、
ネットのTeXビューアに張り付けてなんとか読むことができました。
n≧3の場合、こんな初等的な方法で証明できるとは驚きです。
まだ完全に呑み込めていない部分もあるので精読したいと思います。

解決済み!

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