数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■52735 / 親記事) 　平方数と素数
  ▼■
□投稿者/ カサス 一般人(1回)-(2025/03/11(Tue) 10:58:48)
    正の整数a,b,cは、a^2-bcが平方数であるとき、
    2a+b+cは素数ではないことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52738 / ResNo.1) 　Re[1]: 平方数と素数
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2025/03/11(Tue) 14:21:51)
    2025/03/11(Tue) 16:12:03 編集(投稿者)

    pを正の整数、dを非負整数として、
    a^2-bc = d^2・・・・・(1)
    2a+b+c = p・・・・・(2)
    とおきます。

    ⇒ c = p-b-2a
    ⇒ d^2 = a^2-b(p-b-2a) = a^2-bp+b^2+2ab = (a+b)^2-bp
    ⇒ bp = (a+b)^2-d^2 = (a+b+d)(a+b-d)・・・・・(3)

    bp > 0 かつ a+b+d > 0 ですから、a+b-d > 0 と言えます。
    また、a+b < 2a+b+c = p かつ d ≧ 0ですから、
    0 < a+b-d < p・・・・・(4)
    となります。

    以下、pを素数と仮定すると矛盾することを示します。

    (3)(4)より、pはa+b+dの約数であり、a+b-dはbの約数と言えます。
    0 < a+b-d ≦ b
    ⇒ 0 < a ≦ d・・・・・(5)

    (1)(5)より
    d^2 = a^2-bc ≦ d^2-bc
    ⇒ 0 ≦ -bc

    上記はbc > 0より、-bc < 0なので不可能です。
    よって、pが素数という仮定が誤りと言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52740 / ResNo.2) 　Re[2]: 平方数と素数
□投稿者/ カサス 一般人(2回)-(2025/03/11(Tue) 17:41:09)
    ありがとうございました。
    非常によく解りました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ
Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター