 | 成程。まるでどっちが質問して、どっちが回答してるのか分からなくなりました。
h(t)^2の原始関数をH(t), H(0) = 0とすると、
Y(t) = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}dy = πH(f(t))
X(t) = Y(t)
⇒ πg(t) = πH(f(t))
⇒ g'(t) = f(t)^2, H'(f(t))f'(t) = (h(f(t))^2)f'(t) = (t^2)f'(t)
⇒ f(t)^2 = (t^2)f'(t)
f(0) = 0かつx > 0においてf'(x) > 0より、x > 0でf(x) > 0です。
よって、t > 0のとき、
⇒ 1/t^2 = f'(t)/(f(t)^2)
⇒ -1/t+C = -1/f(t) (Cは積分定数)
⇒ t/(1-Ct) = f(t)
0/(1-C*0) = 0 = f(0)だから、上記はt = 0でも成り立ちます。
検算
C = 0のとき、y = x, x = y
X(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)
Y(t) = π∫[0,t]{x^2}dx = (π/3)(t^2)
C ≠ 0かつ1-Ct ≠ 0のとき、y = x/(1-Cx) = (-1/C)(1+1/(Cx-1))
(1-Cx)y = x ⇒ y = (Cy+1)x
Cy+1 ≠ 0のとき、x = y/(Cy+1) = (1/C)(1-1/(Cy+1))
X(t) = (π/(C^2))∫[0,t]{1+2/(Cx-1)+1/((Cx-1)^2)}dx
= (π/(C^2))[x+(2/C)ln(|Cx-1|)-(1/C)/(Cx-1)]_[0,t]
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)/(Ct-1)-1/C}
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-(1/C)(1+Ct-1)/(Ct-1)}
= (π/(C^2)){t+(2/C)ln(|Ct-1|)-t/(Ct-1)}
= (π/(C^2)){t(Ct-2)/(Ct-1)+(2/C)ln(|Ct-1|)}
Y(t) = (π/(C^2))∫[0,t/(1-Ct)]{1-2/(Cy+1)+1/((Cy+1)^2)}dy
= (π/(C^2))[y-(2/C)ln(|Cy+1|)-(1/C)/(Cy+1)]_[0,t/(1-Ct)]
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|Ct/(1-Ct)+1|)-(1/C)/(Ct/(1-Ct)+1)+1/C}
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)-(2/C)ln(|1/(1-Ct)|)-(1/C)/(1/(1-Ct))+1/C}
= (π/(C^2)){t/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)+t}
= (π/(C^2)){t(2-Ct))/(1-Ct)+(2/C)ln(|1-Ct|)}
・・・とどうやら大丈夫そうです。
但し、1-Ct = 0やCy+1 = 0の場合も積分範囲を分けて極限として吟味する必要があると思いますが、
私はもう限界ですので、勝手ながらこれでこのスレの最後の発言とさせて頂きます。
# 安直にこのスレに口を出したことを後悔しています。
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