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■52902 / 親記事) 　不等式
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□投稿者/ 雷 一般人(1回)-(2025/07/14(Mon) 13:41:57)
    正の整数a,bに対し
    |√2 - a/b| ≧ 1/(3b^2)
    となることの証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52903 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(20回)-(2025/07/14(Mon) 20:27:07)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    a, bは正の整数とします。

    (1) b = 1 の場合
    a = 1 ならば |√2-a/b| = |√2-1| > 1.4-1 > 1/(3*1^2) で題意は成立
    a ≧ 2 ならば |√2-a/b| = |√2-a| = a-√2 > 2-1.5 > 1/(3*1^2) で題意は成立

    (2) b ≧ 2 の場合
    (2A) a/b ≧ 3/2 の場合
    a/b > √2 ですので、
    |√2-a/b|-1/(3b^2) = (a/b-√2)-1/(3*b^2)
    ≧ (3/2-√2)-1/12 = (17-12√2)/12 = {17^2-(12^2)*2}/{12(17+12√2)} = {289-288}/{12(17+12√2)} > 0

    よって、|√2-a/b|-1/(3b^2) > 0 となり、題意は成立します。

    (2B) a/b < 3/2 の場合
    |√2-a/b| = |√2-a/b|(√2+a/b)/(√2+a/b)
    = |2-(a/b)^2|/(√2+a/b)
    = |2b^2-a^2|/{b(a+b√2)}

    2b^2-a^2 ≠ 0 なので、|2b^2-a^2| ≧ 1 です。
    従って、|√2-a/b| ≧ 1/{b(a+b√2)} と言えます。

    a+b√2 < (3/2+√2)b < 3b ですので、1/{b(a+b√2)} > 1/(3b^2) です。
    よって、|√2-a/b| > 1/(3b^2) となり、題意は成立します。

    # 質問では |√2-a/b| ≧ 1/(3b^2) となっていますが、
    # |√2-a/b|は無理数で、1/(3b^2)は有理数なので等号が成立することは無いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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