積分 sin^3x

　積分　sin^3x 　by　数学ナビゲーター

最終更新日 2004年3月30日

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∫ sin 3 xdx

高次の三角関数の積分になるので，積分の計算手順より，三角関数の1次化のための公式を用いて次数を下げて積分が可能な形にもっていく。
∫ sin 3 xdx =∫ 3sinx−sin3x 4 dx = 3 4 ∫ sinxdx− 1 4 ∫ sin3xdx =− 3 4 cosx+ 1 12 cos3x+C ( C:積分定数 )

次に角の統一を図る。

− 3 4 cosx+ 1 12 cos3x+C =− 3 4 cosx+ 1 12 ( cos2xcosx−sin2xsinx )+C =− 3 4 cosx+ 1 12 { ( cos 2 x− sin 2 x )cosx−2sinxcosxsinx }+C =− 3 4 cosx+ 1 12 ( cos 3 x−3 sin 2 xcosx )+C =− 3 4 cosx+ 1 12 { cos 3 x−3( 1− cos 2 x )cosx }+C =− 3 4 cosx+ 1 12 ( 4 cos 3 x−3cosx )+C =−cosx+ 1 3 cos 3 x+C

置換積分で解く方法もある。

∫ sin 3 xdx =∫ ( 1− cos 2 x )sinxdx

となるので， cosx=t とおくと， dt dx =−sinx→sinxdx=−dt となる。よって，

∫ ( 1− cos 2 x )sinxdx =∫ ( −1+ t 2 )dt =−t+ 1 3 t 3 +C ( C:積分定数 ) =−cosx+ 1 3 cos 3 x+C

となり，同じ結果が得られる。

【関連ページ】
数学II，数学IIIC，積分の計算手順，積分法，積分の具体的事例