積分の計算手順

　積分の計算手順　by　数学ナビゲーター

最終更新日 2004年7月19日

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１．積分ができる形に式を整える

基本形の和の形に持っていく

基本系： x α ( α：－1以外の実数 ) ， 1 x ， e x ， α x ， logx ， sinx ， cosx ， tanx ⇒積分の公式で計算できる。
x→ax+b ( a≠0 ) の場合でもよい。後で， ax+b=t とおいて置換積分で解ける。実際に計算した例。

手法

分数関数
(例） x ( x+1 )( x−2 )

(1)部分分数に分解（部分分数に分解するための手順を参照）
(例） 1 3 · 1 x+1 + 2 3 · 1 x−2
(2) ∫ f ′ ( x ) f  ( x ) dx=log| f  ( x ) |+C の関係を利用する。ここを参照。

1次無理関数
ax+b m

指数形にする
( ax+b ) 1 m

高次の三角関数

(1)三角関数の1次化を図る（用いる公式）
(2) f( sinx )cosx に式を変形し， sinx=t とおく置換積分を行う。
(3) f( cosx )sinx に式を変形し， cos x=t とおく置換積分を行う。

関数の積

部分積分の利用
（関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効）
(例) ∫ x e nx dx x を微分すると1になる。

関数が複雑

置換積分の利用
（例） e x =t ， logx=t ， sinx=t ， cosx=t

a 2 − x 2 ⇒ x=asinθ ( − π 2 ≤θ≤ π 2 ) ，または x=acosθ ( 0≤θ≤π )

a 2 + x 2 ⇒{ x+ a 2 + x 2 =t x=atanθ      ( − π 2 ≤θ≤ π 2 )

x 2 − a 2 ⇒{ x+ x 2 − a 2 =t x= a cosθ       ( 0≤θ< π 2 , π 2 <θ≤π )

２．定積分の場合，式の特徴による簡素化を図る。

偶関数

∫ −a a f  ( x )dx=2 ∫ 0 a f  ( x ) dx （ f  ( x ) ：偶関数）

奇関数

∫ −a a f  ( x )dx=0 （ f  ( x ) ：奇関数）

三角関数の場合は
周期性に着目

（例） ∫ 0 π sin( π−x )dx= ∫ 0 π sinxdx

【積分計算の具体的事例】
ここを見てください。　対数，三角関数，分数関数などの積分の例題を掲載している。

【関連ページ】
カテゴリー分類>>積分

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