出題校：センター試験　2001年度　追試験　数学ＩＩ・数学B　解答

第1問　（必須問題）　（配点　30）

[1]

  4 ( 1+cosθ ) 3 を cosθ ， cos2θ ， cos3θ の一次式として表そう。

cos 2 θ= 1 ア ( 1+cos2θ )

また，

cos3θ =cos2θcosθ−sin2θsinθ =イ cos 3 θ−ウ cosθ

より

cos 3 θ= エ オ cosθ+ カ キ cos3θ

である。
これらのことから 4 ( 1+cosθ ) 3 は，次のように

クケ +コサ cosθ+シ cos2θ+cos3θ

表される。

　

[2]

五つの数

0,1,a= log 5 2 1.5 ,b= log 5 3 1.5 ,c= log 5 0.5 1.5

を小さい順に並べると

ス <0<セ <ソ <タ

である。

[3]

方程式

6 x − 2 x 27 −27· 3 x +1=0

を考える。 X= 2 x ， Y= 3 x とおくと，この方程式の左辺は

( X−チツ )( Y− テ トナ )

と因数分解される。したがって，この方程式の解 x  はニつあり，そのうち小さい方の解は  ニヌ  であり，大きい方の解の整数部分は  ネ  である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

座標平面において放物線 y= x 2 を C とし，直線  y=ax  を ℓ とする。ただし 0<a<1 とする。 C と ℓ で囲まれた図形の面積積を S 1 とし，次に C と ℓ と直線  x=1 で囲まれた面積を S 2 とする。

(1)

  S 1 は

S 1 = ア イ a ウ

と表される。

(2)

二つの面積の和  S= S 1 + S 2 は

S= 1 エ a オ − 1 カ a+ 1 キ

と表される。

(3)

  S は a= ク ケ のとき最小値 コ サ − シ ス  をとる。

　

[2]

(1)

曲線  y=2 x 3 −3x  を Ｃ の接線の方程式は

y=( セ a ソ −タ )x−チ a ツ

である。

(2)

　上で求めた接線が点 ( 1,b ) を通るのは

b=テト a ナ +ニ a ヌ −ネ

が成り立つときである。

(3)

　したがって，点 ( 1,b ) から Ｃ へ相異なる3本の接線が引けるのは

ノハ <b<ヒフ

のときである。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　五角形ＡＢＣＤＥは，半径1の円に内接し

∠ＥＡＤ＝30°，∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝60°

を満たしている。 AB ⟶ = a → ， AE ⟶ = b → とおく。

(1)

BC ⟶ = ア イ a → + ウ エ b → AC ⟶ = オ カ a → + キ ク b → である。 　 a → と b → の内積は a → · b → =ケ であり | AC ⟶ |= コ である。

(2)

　∠CADの2等分線と線分CDとの交点Pとする。このとき　

AP ⟶ =( サ − シ ) a → +( ス − セ ) b →

であり

| AP ⟶ | 2 =ソタ −チツ テ

である。
　さらに，線分APと線分CEとの交差点をQとする。このとき

AQ ⟶ = ト ナ AP ⟶

である。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　Oを原点とする複素平面上に，三つの複素数 ｉ （虚数単位）， β ， γ を表す点Ａ，Ｂ，Ｃが

∠ＣＯＢ＝120°，∠ＢＡＣ＝60°，ＯＢ＝2ＯＣ，ＡＢ＝ＡＣ

を満たし，図のように与えられているとする。

(1)

∠COB＝120°，OB＝2OCより

β=( −ア + イ i )γ

である。
　また，∠BAC＝60°，AB=ACより

γ−i=( ウ + エ i オ )( β−i )

である。したがって

β= − カ +i キ ， γ= ク +i ケ

である。

(2)

　線分BCの長さは | γ−β | は　

コ サ

であり， arg( γ−β )=θ とすると

cosθ= シ − スセ 14 ， sinθ= ソ − タ 14

である。

第5問　（選択問題）　（配点　20）　

　三つのさいころを同時に振り，出た日の最大値を X ，最小値を Y ，その差 X−Y を Z とする。
　ただし，さいころは互いに区別できるものとする。

(1)

  Z=0  となる確率は ア イウ でありる。

(2)

  Z=0  となる場合の数を計算してみよう。
このとき， X は5または6である。 　 X=5 とし，出たさいころの目を大きい方から順に並べて三つ組 （5，1，1）を作る。ただし1≦ i ≦5である。
　どのさいころの目であるかを考えに入れると，（5，1，1），（5，5，1）には それぞれ  エ  通りの場合があり，（5，2，1），（5，3，1），（5，4，1）に対 しては・それぞれ  オ  通りの場合がある。したがって， Z=4 かつ X=5 となる場合は，合計  カキ  通りである。
　 X=6 の場合も同様に考えると， Z=4 となるのはまとめて  クケ  通りである。

(3)

(2)と同様にして考えると
Z=5 となる場合は  コサ  通り
Z=3 となる場合は54通り
Z=2 となる場合は48通り
Z=1 ｖとなる場合は30通りである。

(4)

  Z=4 という条件のもとで X=5 となる条件つき確率は  シ ス  である。

(5)

  Z の平均（期待値）は セソ タチ  である。

第6問　（選択問題）　（配点　20）

　 m 個の赤い玉と n 個の白い玉を二つの箱A，Bに入れる。次の3条件をすべ て満たすような入れ方を列挙するプログラムを考えよう。ただし，同じ色の玉は 区別しない。

		どの玉もA，Bどちらかの箱に入れる。
		赤い玉はどちらの箱にも2個までしか入れない。
		箱の中の白い玉の個数が0でないときは，その箱の中では白い玉の個数 　　が赤い玉の個数より多い。

プログラム中では，箱Aの中の赤い玉の個数が�Tで表されている。

　

100		INPUT "m,n=";M,N
110		FOR I=0 TO 2
120		J=M-I
130		IF J<0 THEN GOTO  ウエオ
140		IF J>2 THEN GOTO  ウエオ
150		FOR P=0 TO N
160		Q=N-P
170		IF (P>0 AND I>=P) THEN GOTO  カキク
180		IF (Q>0 AND I>=Q) THEN GOTO  カキク
190		PRINT "(";I;P"),(";J;Q;")"
200		NEXT P
210		NEXT I
220		END

注　 x ， y を条件式とするとき，「 x AND  y 」 は「 x  かつ y」を意味する。

(1)

　箱Bの中の白い玉の個数を表す変数を，次の  〜 のうちから一つ選べ。 ア

I

J

M

N

P

Q

(2)

　意図どおりのプログラムにするには，150行以下のFOR〜NEXT文はどのような場合に実行させるべきか。次の   〜 のうちから一つ選べ。 イ

J<0かつJ>2	J<0 またはJ>2
J≧0 かつ J≦2	J≧0 または J≦2

(3)

　プログラム中の空欄に適当な数値を入れてプログラムを完成させよ。

(4)

　このプログラムを実行してm，n=?に対して2，5と入力すると，全部で  ケコ  組の解が表示され，そのうちの1〜6番目の解は，それぞれ

(　 0　　0　 ) , ( 　2　　5　 ) (　 0　　1　 ) , ( 　2　　4　 ) ( サ  シ ) , ( ス   セ ) ( ソ   タ ) , ( 　2　　0　 ) ( チ   ツ ) , ( テ   ト ) ( ナ   ニ ) , ( ヌ    ネ )

である。