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問題分通りに線と記号を付け加えると下の図のようになる。
参考
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I は△ABCの内心であるのでAIは∠BACを2等分する。よって，∠HAI＝∠BAI
また，∠BEDと∠BAI（∠BAD）は同じ円弧BDを持つ円周角であるので等しい。すなわち，∠BED＝∠BAI
（円周角の定理）
∠DBEは外接円の半円の円弧EDに対する円周角であるので，
∠DBE＝90°。
よって，∠EDB＝∠DBE＝90° |
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△AHIと△EBDは，
∠HAI=∠BA
I=∠BED
∠AHI=∠EBD=90°
であるから相似で，
ED:A I=BD
:HI が成り立ち
AI=r,ED=2R
より，
A
I · BD
=2rR ････････････(1)
参考
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I は△ABCの内心であるのでBIは∠ABCを2等分する。よって，∠IBA=∠IBC
外角＝2内角の和の関係より，∠DIB＝∠IAB+∠IBA
また，∠DACと∠DBCは同じ円弧CDを持つ円周角であるので等しい。すなわち，∠DAC＝∠DBC ・・・(A)
（円周角の定理）
I は△ABCの内心であるのでAIは∠BACを2等分する。よって，∠DAC＝∠IAB ・・・(B)
(A)，(B)より，∠IAB＝∠DAC＝∠DBC
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次に△DBIにおいて
∠DIB=∠I AB
+∠IBA
∠DIB=∠DBC+∠IBC
∠IBA=∠IBC
∠I AB
=∠DAC+∠DBC
であるから，
∠DIB+∠DB
I で，△DBIは二等辺三角形となり
BD =ID
････････････(2)
参考
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∠GFD（∠IFD）と∠DAG（∠IAG）は同じ円弧DGを持つ円周角であるので等しい。すなわち，∠GFD（∠IFD）＝∠DAG（∠IAG）
（円周角の定理）
対角の関係より，∠FID＝∠AIG
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△IFDと△IAGにおいて
∠IFD=∠GFD=∠IAG
∠FID=∠AIG
したがって，△IFDと△IAGは相似であり
AI·D
I
=F
I · GI
=(
F
O+OI
)(
GO−OI
)
= R 2
− OI
2
････････････(3)
(1)，(2)，(3)から
{
AI·BD=2rR
BD=ID
AI·DI=
R 2 −
OI 2
よって，
2rR=
R 2 −
OI 2
OI 2
= R 2
− 2rR
が成り立つ。
