出題校：センター試験　
2002年度　本試験　数学I・数学A　解答

第1問　（必須問題）　（配点　40）

[1]

  a  を定数とし，2次関数

y=−4 x 2 +4( a−1 )x− a 2

のグラフを C とする。

(1)

  C が点  ( 1,−4 )  を通るとき， a=ア  である。

(2)

  C  の頂点の座標は

( a−1 イ ,ウ エ a+オ ) 　

である。

(3)

  a>1 とする。 x  が −1≤x≤1 の範囲にあるとき，この2次関数の最大値，最小値を調べる。最大値は

1<a≤カ ならば −2a+キ a>カ ならば − a 2 +4a−ク

である。また最小値は

− a 2 −ケ a

である。最大値と最小値の差が12になるのは

a=−1+コ サ

のときである。

[2]

2つの箱A，Bがある。

Aの箱には，次のように6枚のカードが入っている。　

     0の数字が書かれカードが1枚
     1の数字が書かれカードが2枚
     2の数字が書かれカードが3枚 　

Bの箱には，次のように7枚のカードが入っている。

     0の数字が書かれカードが4枚
     1の数字が書かれカードが1枚
     2の数字が書かれカードが2枚 　

Aの箱から1枚，Bの箱から2枚，あわせて3枚のカードを取り出す。　

(1)

3枚のカードに書かれた数がすべて0である確率は シ   ス セ    である。

(2)

3枚のカードに書かれた数の積が4である確率は ソ   タ チ    である。

(3)

3枚のカードに書かれた数の積が0である確率は ツ テ   ト ナ    である。

(4)

3枚のカードに書かれた数の積の期待値は ニ ヌ    ネ ノ    である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

  a ， b  を実数とし， x の整式 A ， B  を

A= x 2 +ax+b ， B= x 2 +x+1

とする。ただし， A ， B  は等しくないものとする。

(1)

等式

A 2 + B 2 =2 x 4 +6 x 3 +3 x 2 +cx+d

が成り立つとき， a=ア ， b=-イ ， c=-ウ ， d=エ  である。

(2)

等式

A 2 − B 2 =( A−B )( A+B ) = { ( a−1 )x+( b−1 ) }{ オ x 2 +( a+カ )x+b+1 }

を考える。 A−B  が x−1 で割り切れるのは キ  のときであり，また， A+B  が x−1 で割り切れるのは ク  のときでありる。よって  A-B  ， A+B  が同時に x−1 で割り切れることはない。ただし， キ ， ク については，次の 〜 の中から当てはまるものをそれぞれ1つずつ選べ

a+b=0	a−b=0	a+b−2=0
a+b+4=0	a−b−2=0

したがって， A 2 − B 2 が ( x−1 ) 2 で割り切れるのは A+B が ( x−1 ) 2 で割り切れる場合である。このとき

a=−ケ ， b=−コ ， A 2 − B 2 =サ シ ス x ( x−1 ) 2

となる。

　

[2]

半径 R  の円に内接する四角形ABCDが

AB= 3 −1 ， BC= 3 +1 ， cos∠ABC=− 1 4

を満たしており，△ACDの面積は△ABCの面積の3倍であるとする。
　このとき，

AC=セ ， R= ソ タ チ ツ

である。

また，△ABDと△ABCの面積についての条件から，

AD×CD=テ AD 2 + CD 2 =ト ナ

となる。したがって，四角形ABCDの周の長さは

ニ ヌ +2 3

である。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

(1)

初項が0でない等比数列  { a n }  が  a 1 +2 a 2 =0  を満たしている。このとき，公比は    ア イ    ウ である。 a 1 + a 2 + a 3 = 9 4 ならば， a 4 + a 5 + a 6 =   エ オ    カ キ であり， 1 a 1 + 1 a 2 +⋯+ 1 a n =57 となるのは n=ク のときである。

(2)

  b n =pn+q で表される数列  { b n }  に対して，初項から第n項までの和を  S n  とする。 b 7 =1 ， S 12 =10 ならば， p=    ケ   コ ， ｑ=    サ シ   ス であり， S 1 + S 2 +⋯+ S 12 = セ ソ タ である。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　三角形ABCの外心をO，内心をI，また，外接円の半径を R ，内接円の半径を ｒ  とする。OとIが一致しない場合に R ， ｒ とOIの関係を調べよう。次ページのア〜サにはA〜Gの中からC以外の当てはまる文字を選べ。ただし，エとオは解答の順序を問わない。

　AIの延長と外接円の交点をDとし，DOの延長と外接円の交点をEとする。また直線OIと外接円の交点をF，O，I，Gがこの順に並ぶものとする。IからACへ垂線をひき，項点をHとする。　

　△AHIと△EBDは，

∠HAI=∠ア イ   I=∠BED ∠AHI=∠EBD=90° 　

であるから相似で， ED:ウ   I=エ オ :HI  が成り立ち

ウ   I  ·  エ オ =2rR                          ････････････(1)

次に△DBIにおいて

∠DIB=∠I  カ キ +∠IBA ∠DIB=∠DBC+∠IBC ∠IBA=∠IBC ∠I  カ キ =∠DAC+∠DBC

であるから， ∠DIB+∠ク ケ   I  で，△DBIは二等辺三角形となり

エ オ =ID                               ････････････(2)

△IFDと△IAGにおいて

∠IFD=∠GFD=∠IAG ∠FID=∠AIG

したがって，△IFDと△IAGは相似であり

AI·コ   I =サ    I  ·  GI =( サ    O+OI )( GO−OI ) = R 2 − OI 2                                                                   ････････････(3)

(1)，(2)，(3)から

OI 2 = R 2 −シ

が成り立つ。ただし， シ には次の  〜 の中から正しいものを一つ選べ。

r	R	r 2
rR	2rR	4rR

　

第5問　（選択問題）　（配点　20）

　次のプログラムは x=0,1,⋯⋯,9 に対する  a x 2 +bx+c  の値の最小値と最大値を求めるものである。 ア イ ウ ， エ オ カ  に適当な行番号をいれてプログラムを完成させよ。

100  INPUT "a=";A

110  INPUT "b=";B

120  INPUT "c=";C

130  U=C

140  V=C

150  FOR X=0 TO 9

160       Y=A*X*X+B*X+C

170       IF Y>=U THEN GOTO ア イ ウ

180       U=Y

190       IF Y<=V THEN GOTO エ オ カ

200  NEXT X

220  PRINT "最大値=";U

230  PRINT "最大値=";V

240  END

(1)

　上のプログラムを実行して，a=? に対して−1，b=? に対して7，c=? に対して28を入力すると，180行は  キ  回，200行は  ク  回実行され

　　　最小値 =ケ コ
　　　最大値 =サ シ

が表示される。また，170行の不等号 >= を > に，190行の不等号 <= を < に変更したのち，同じデータを入力すると，180行は  ス  回，200行は  セ  回実行され

　　　最小値 =ソ タ
　　　最大値 =チ ツ

が表示される。

(2)

　冒頭のプログラムの170行と180行は，180行を削除して170行を

　　　170   =テ

と書き直しても同じ結果を得る。同様に190行と200行も，200行を削除して，190行を

　　　190   =ト

と書き直すことができる。ただし， テ  と  ト  については，次の 〜 の中から最もふさわしいものを一つずつ選べ。

IF Y>U THEN U=Y	IF Y<U THEN U=Y
IF Y=U THEN U=Y	IF Y>V THEN U=Y
IF Y<V THEN V=Y	IF Y=V THEN V=Y