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■50719 / inTopicNo.1)

　期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(1回)-(2021/04/20(Tue) 14:32:17)

点Pは時刻0で正四面体のある頂点に位置し、1秒ごとに位置している頂点にとどまるか、
位置している頂点から他の3頂点のいずれかに動くかを、等しい確率で選択し実行する。
このとき、時刻0から時刻nまでの間に、点Pが現れた異なる頂点の数の期待値を求めよ。
ただしnは1以上の整数とする。

この問題なのですが、期待値E[n]の漸化式を立てて解くことは出来ますか？
E[n+1]をE[n]で表したいです。n+1秒を考えるときPの最初の動きで場合分けして
時刻1にPが位置している頂点にとどまればその後はE[n]/4ですよね。
時刻1にPが確率3/4で他の頂点にうつったときをE[n]で表せますか？

よろしくお願いします。

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■50720 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 期待値

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□投稿者/ らすかる一般人(34回)-(2021/04/20(Tue) 17:21:39)

> この問題なのですが、期待値E[n]の漸化式を立てて解くことは出来ますか？
多分無理だと思います。

> E[n+1]をE[n]で表したいです。
E[n]の一般式を求めた後でE[n+1]とE[n]の関係式を作ることはできるかも知れませんが、
E[n]の一般式がわからない状態ではおそらくできないと思います。

> n+1秒を考えるときPの最初の動きで場合分けして
> 時刻1にPが位置している頂点にとどまればその後はE[n]/4ですよね。
これはどういう意味ですか？
時刻1にPが動かなかったとき、その次の期待値は1+1×(3/4)=7/4、
時刻1にPが移動したとき、その次の期待値は2+1×(1/2)=5/2だと思います。
私にはE[n]/4の意味がわかりません。

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■50721 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(2回)-(2021/04/20(Tue) 18:17:57)

n+1秒のうち
時刻1にPが動かなかった場合の2～n+1秒のあいだにPが現れた頂点の数の期待値a 、
時刻1にPが動いた場合の2～n+1秒のあいだにPが現れた頂点の期待値b、とすると、
E[n+1]=(a+3b)/4
ではないのでしょうか？
また、a=E[n]ではないのでしょうか？

時刻1にPが動かなかった場合のE[n+1]への寄与がE[n]/4ではないのかと思ったのですが…
それで漸化式が立てられないかという質問です。

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■50722 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 期待値

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□投稿者/ ゴリラ一般人(3回)-(2021/04/20(Tue) 18:23:02)

bのことは勘違いしているかもしれません。

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■50723 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(4回)-(2021/04/20(Tue) 18:25:34)

bのことを聞きたい、ということです。

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■50724 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(35回)-(2021/04/20(Tue) 22:59:24)

b以前に

> n+1秒のうち
> 時刻1にPが動かなかった場合の2～n+1秒のあいだにPが現れた頂点の数の期待値a 、
> 時刻1にPが動いた場合の2～n+1秒のあいだにPが現れた頂点の期待値b、とすると、
> E[n+1]=(a+3b)/4
> ではないのでしょうか？

これは正しくないと思います。
時刻1にPが動かなかった場合の「0～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値をa、
時刻1にPが動いた場合の「0～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値をbとすれば
E[n+1]=(a+3b)/4となります。
そして
『時刻1にPが動かなかった場合の「0～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値』は
『時刻1にPが動かなかった場合の「1～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値』と等しいので
1行目は
時刻1にPが動かなかった場合の「1～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値をa
には変えられますが、「2～n+1秒」にはできないでしょうね。

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■50725 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(5回)-(2021/04/20(Tue) 23:16:48)

■No50724に返信(らすかるさんの記事)
>
> そして
> 『時刻1にPが動かなかった場合の「0～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値』は
> 『時刻1にPが動かなかった場合の「1～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値』と等しいので
> 1行目は
> 時刻1にPが動かなかった場合の「1～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値をa
> には変えられます
>

このaはE[n]ではないのでしょうか？

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■50726 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(36回)-(2021/04/21(Wed) 00:01:07)

そのaはE[n]と等しいです。

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■50727 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(6回)-(2021/04/21(Wed) 00:07:05)

>時刻1にPが動いた場合の「0～n+1秒」の間にPが現れた頂点の数の期待値をbとすれば

このbはらすかるさんの力をもってしても、E[n]の漸化式を立てるのに役に立ちそうな形にするのがむずかしいということですか？

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■50728 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(37回)-(2021/04/21(Wed) 00:26:58)

そうですね。
どちらかというと、「私には難しい」と考えているのではなく、
「この手のものは今までの経験から考えて「不可能」である可能性が高い」
（つまりどんな数学者が考えてもできないと思われる）と考えています。
・bはE[n]と直接関係ありそうな値ではない
・E[n]とE[n-1]からも導ける気がしない
・E[1]～E[n]を全部使えば導ける可能性はあるが、
その式を作るのも困難な上に、作った漸化式も解ける気がしない
・よって、普通に考えて無理。

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■50729 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(7回)-(2021/04/21(Wed) 00:35:13)

分かりました。有難うございます。

他の解法に興味が移ってきました。
こちらについても教えてください。

時刻nまでにk(k=1,2,3,4)個の頂点に位置した確率をそれぞれp_1,p_2,p_3,p_4とします。
求めたい期待値は
p_1+2*p_2+3*p_3+4*p_4
=
p_1 +
p_2 + p_2 +
p_3 + p_3 + p_3 + 
p_4 + p_4 + p_4 + p_4

なので、4=4*(p_1+p_2+p_3+p_4)から

      p_1 + p_1 + p_1
          + p_2 + p_2
                + p_3

を引けばいいわけですよね？
これって簡単に計算できますか？

横ではなく縦に足すと
p_1 + p_2 + p_3 = 3頂点 "以下" に位置した確率
p_1 + p_2       = 2頂点 "以下" に位置した確率
などとなって、うまく計算できるような気もするのですが…わかりませんでした。
最終的な答えとすり合わせると、この値が大変簡明な姿になることは分かっているのですが、
どうすればそうなるのか思いつかなくてもやもやです。

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■50730 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 期待値

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□投稿者/ らすかる一般人(38回)-(2021/04/21(Wed) 02:41:40)

時刻nまでに1頂点(以下)に位置した確率は、
時刻nまで動かない確率なので(1/4)^nです。
時刻nまでに2頂点以下に位置した確率は、
正四面体OABC（時刻0でPがいる頂点がO）において
AにもBにも行かない確率は(1/2)^n
BにもCにも行かない確率は(1/2)^n
CにもAにも行かない確率は(1/2)^n
この3つを足すと「Oから移動しない確率」が3回足されて
重複してしまいますので、その分を引けば
2頂点以下に位置した確率は3・(1/2)^n-2・(1/4)^n
と計算されます。
時刻nまでに3頂点以下に位置した確率は、
Aに行かない確率は(3/4)^n
Bに行かない確率は(3/4)^n
Cに行かない確率は(3/4)^n
これを足すと「2頂点以下」3通りがそれぞれ2重複しますのでそれを引いて
引きすぎた1頂点の確率を足すことにより
3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n
と計算されます。
よって「1頂点」+「2頂点以下」+「3頂点以下」
={(1/4)^n}+{3・(1/2)^n-2・(1/4)^n}+{3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n}
=3・(3/4)^n
となります。

しかし上記の計算は重複分の考慮がやや難しい（混乱しやすい）ので、
以下のように（"以下"にせずに）具体的に考えた方が確実のような気がします。
時刻nまでに
Oのみ (1/4)^n
OとA (1/2)^n-(1/4)^n
OとB、OとCも同じ
OとAとB (3/4)^n-2{(1/2)^n-(1/4)^n}-(1/4)^n=(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n
OとBとC、OとCとAも同じ
よって期待値は
4-3・(1/4)^n-2・3{(1/2)^n-(1/4)^n}-1・3{(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n}
=4-3(3/4)^n

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■50731 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 期待値

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□投稿者/ name 一般人(1回)-(2021/04/21(Wed) 14:13:59)

$2$x^2$
あ

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■50736 / inTopicNo.14)

　Re[12]: 期待値

▲▼■

□投稿者/ ゴリラ一般人(8回)-(2021/04/21(Wed) 20:19:11)

3^(n+1)/4^nがすっきりしているので期待してしまいました。
ありがとうございました。

解決済み!

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