 | y=(1/2)x^2
より
y'=x (A)
∴l[1]の方程式は
y=a(x-a)+(1/2)a^2
整理して
y=a(x-a/2) (B)
又l[1]⊥[2]により
l[2]の傾きは-1/a
∴l[2]の接点のx座標をbとすると(A)から
-1/a=b
∴l[2]の方程式は
y=-(1/a)(x+1/a)+(1/2)(-1/a)^2
整理をして
y=-(1/a){x+1/(2a)} (C)
(B)(C)を連立して解くことにより
l[1],l[2]の交点のx座標は
(1/2)(a-1/a)
以上とC,l[1],l[2]の位置関係により
求める面積をSとすると
S=∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{(1/2)x^2+(1/a){x+1/(2a)}}dx
+∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(1/2)x^2-a(x-a/2)}dx
=(1/2)∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{{x+1/(2a)}^2}dx
+(1/2)∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(x-a/2)^2}dx
=(1/6)(a/2)^3+(1/6){1/(2a)}^3+(1/6)(a/2)^3+(1/6){(1/(2a)}^3
=(1/24)(a^3+1/a^3)
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