□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2024/04/24(Wed) 11:25:27)
 | 別解
区分求積ではないですが定積分の計算に帰着させることはできます。
部分分数に分解すると、
1/a[n] = 3/{(3n)(3n+1)} = 3{1/(3n)-1/(3n+1)}
ここで、mを自然数として
∫[0, 1]{x^m}dx = [(x^(m+1))/(m+1)]_[0, 1] = 1/(m+1)
ですから、nを自然数として
1/(3n) = ∫[0, 1]{x^(3n-1)}dx
1/(3n+1) = ∫[0, 1]{x^(3n)}dx
よって、
(1/3)Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= Σ[n=1, ∞]{1/(3n)-1/(3n+1)}
= Σ[n=1, ∞]{∫[0, 1]{x^(3n-1)-x^(3n)}dx}
= ∫[0, 1]{Σ[n=1, ∞]{x^(3n-1)-x^(3n)}}dx
= ∫[0, 1]{Σ[n=1, ∞]{(x^2-x^3)(x^(3(n-1)))}}dx
上記で、少し強引ですが積分範囲を[0, 1-0]と見なせば、0 ≦ x < 1となり、
n→∞のときx^(3n)→0となるので、等比級数の値は、
Σ[n=1, ∞]{(x^2-x^3)(x^(3(n-1)))}
= lim[n→∞]{(x^2-x^3)(1-x^(3n))/(1-x^3)}
= (x^2-x^3){1/(1-x^3)}
= (x^2)/(1+x+x^2)
以上から、
(1/3)Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= ∫[0, 1]{(x^2)/(1+x+x^2)}dx
= ∫[0, 1]{(x^2+x+1-x-1)/(1+x+x^2)}dx
= ∫[0, 1]{1-(x+1)/(1+x+x^2)}dx
= [x]_[0, 1]-∫[0, 1]{(1/2)(2x+2)/(1+x+x^2)}dx
= -∫[0, 1]{(1/2)(2x+1)/(1+x+x^2)+(1/2)/(1+x+x^2)}dx
= 1-(1/2)[log(1+x+x^2)]_[0, 1]+(1/2)∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
= 1-(1/2)log(3)+(1/2)∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
上記最後の積分で、t = (2/√3)(x+1/2)とおくと、dt = (2/√3)dx, tの積分範囲は[1/√3, √3]です。
∫[0, 1]{1/(1+x+x^2)}dx
= ∫[1/√3, √3]{1/(3/4+(3/4)t^2)}((√3)/2)dt
= (2/√3)[arctan(t)]_[1/√3, √3]
= (2/√3)(π/3-π/6)
= π/(3√3)
纏めると、
Σ[n=1, ∞]{1/a[n]}
= 3{1-(1/2)log(3)+(1/2)π/(3√3)}
= 3-(3/2)log(3)+π/(2√3)
# らすかるさん及びWolfram Alphaの結果と一致してめでたしめでたし!
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