□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/10/12(Wed) 18:54:03)
 | 求める確率をP[n]とします。
ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
R[8,6]=4/(8C2)=1/7
R[6,4]=3/(6C2)=1/5
R[4,2]=2/(4C2)=1/3
R[2,0]=1
∴箱の中の玉の個数が
l回目の行動の前後で8個から6個に
l+m回目の行動の前後で6個から4個に
なり、
n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
である確率をQ[n,l,m]とすると
Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
=(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
q[n]=Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l]Q[n,l,m]
=Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
=(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1〜n-l](6/5)^(m-1)
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
=(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
∴
(i)n≧4のとき
P[n]=R[4,2]q[n-2]
=(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
(ii)n=1,2,3のとき
箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
P[n]=0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
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