 | ■No51978に返信(Xさんの記事)
> 求める確率をP[n]とします。
>
> ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
> k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
> R[8,6]=4/(8C2)=1/7
> R[6,4]=3/(6C2)=1/5
> R[4,2]=2/(4C2)=1/3
> R[2,0]=1
> ∴箱の中の玉の個数が
> l回目の行動の前後で8個から6個に
> l+m回目の行動の前後で6個から4個に
> なり、
> n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
> である確率をQ[n,l,m]とすると
> Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
> ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
> =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
>
> よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
> q[n]=Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l]Q[n,l,m]
> =Σ[l=1〜n-1]Σ[m=1〜n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
> =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1〜n-l](6/5)^(m-1)
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1〜n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
> ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
> =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
>
> ∴
> (i)n≧4のとき
> P[n]=R[4,2]q[n-2]
> =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
> (ii)n=1,2,3のとき
> 箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
> P[n]=0
> (もっと簡単な方法があるかもしれません。)
1回目に (2,3) が取り出された場合,1 が今後取り出されることがなくなるので箱からすべての玉が取り出されることがなくなります。
この計算では個数のみを気にしていて取り出され方が加味されていないようなので先の例が起こることが加味されていません。
おそらくこの計算よりさらに複雑になります。
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