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■50356 / 親記事) 　解析学
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□投稿者/ 通りすがり 一般人(1回)-(2020/06/02(Tue) 22:56:02)
    答えだけでなく、途中式も教えていただけると嬉しいです。

1125×396 => 250×88

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■50357 / ResNo.1) 　Re[1]: 解析学
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2020/06/03(Wed) 18:11:13)
    [2]のみ解説します。

    (1)
    x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。
    逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。

    f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2))
    ⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2)
    0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。

    ⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2
    ⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2

    x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、
    ⇒ 1/tan(f(x)) = x

    1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。
    また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。
    ・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。
    x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。

    ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、
    tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x))
    なので、
    ⇒ tan(π/2-f(x)) = x
    ⇒ π/2-f(x) = Arctan(x)
    ⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)

    よって、C = π/2 となります。
    上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。

    (2)
    g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。
    g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。
    g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。

    y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、
    tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、
    g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y))
    (d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)

    0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、
    よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。
    また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。

    以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。

    # 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
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■50368 / ResNo.2) 　Re[1]: 解析学
□投稿者/ nomi 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 01:08:01)
    [1]の(1) のみヤリマス　[他は　ご自分で!]
    (-Log[2]+Log[3]/2)+1/8 (-4 Log[2]^2+Log[3]^2) x+O[x]^2 で　コタエ」；-Log[2]+Log[3]/2=-(1/2) Log[4/3]
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