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■50754 / 親記事)

　三角形の辺の長さ

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□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ一般人(1回)-(2021/04/27(Tue) 08:42:39)

三角形ABCの辺ABとACの長さは変えずに∠Aを大きくすると
BCの長さも大きくなることを三角関数を使わずに初等的に
示したいのですが、なにか良い案があれば教えて下さい。

私が考えるとどうしてもcosが出てきてしまって歯がゆいです。

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■50755 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ らすかる一般人(39回)-(2021/04/27(Tue) 11:45:51)

A(0,0), B(0,-b), Cはy=mx上の点でbは正の実数、AC=1、mは実数
とおくとCは(1/√(m^2+1),m/√(m^2+1))なので
BC^2=b^2+1+2bm/√(m^2+1)
m/√(m^2+1)はm=0のとき0で
m＞0のときm/√(m^2+1)=1/√(1+1/m^2)からmが増加するとき増加
そしてm/√(m^2+1)は奇関数なので実数全体で増加
よってBCは∠BACの増加にともなって増加する。

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■50756 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ一般人(2回)-(2021/04/27(Tue) 12:04:52)

座標も使わずに、となるとむずかしいのでしょうか？

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■50757 / ResNo.3)

　Re[3]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ らすかる一般人(40回)-(2021/04/27(Tue) 14:50:59)

「初等的に」ではなく「初等幾何的に」という希望でしょうか。
それならば、例えば
AB≧ACである△ABCがあり、AC'=AC,∠C'AB＞∠CABであるC'があるとする。
ただし、C'は直線ABに関してCと同じ側にある。
Aを中心としてCを通る円を描き、ABとの交点をP、BAの延長との交点をQとする。
PQは円の直径で、C'は弧CQ上（端点を含まない）にある。
このとき∠PCQ=90°なので∠BCC'＞90°となる。よってBC'＞BCなので
∠CABが大きいほうがBCが長い。

# 「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」を使いましたが、
# これも未証明とするならば別に証明する必要があります。

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■50758 / ResNo.4)

　Re[4]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ一般人(3回)-(2021/04/27(Tue) 18:49:51)

こういうのを求めておりました！
ありがとう御座います。

ちなみに「鈍角三角形の最長辺は鈍角に対する辺」は
(180度-∠CC'B)/2<∠BCC'
(180度-∠CBC')/2<∠BCC'
を示してBC=BC"、C'C=C'C'''となるC"、C'''を辺BC'にとれる、
でいいのでしょうか？他により適当な方法があれば教えて下さい。

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■50759 / ResNo.5)

　Re[5]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ らすかる一般人(41回)-(2021/04/27(Tue) 23:48:58)

その方法で十分だと思います。
というより、そういう基本的な事項の証明には後に出てくる定理は
使えない（循環論法になる可能性があるから）かも知れませんので、
そのような基本的な事柄しか使わない証明がベストだと思います。

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■50760 / ResNo.6)

　Re[6]: 三角形の辺の長さ

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□投稿者/ ゲブラ・ナガトヨ一般人(4回)-(2021/04/28(Wed) 07:05:07)

ありがとうございました！！

解決済み!

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