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■52181 / 親記事) 　解析学
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□投稿者/ スー 一般人(1回)-(2023/05/08(Mon) 13:29:58)
    写真の問題をお願いします。
899×368 => 250×102

AEEE7302-A818-4559-9A9B-7FF3619DE063.jpeg/69KB
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■52182 / ResNo.1) 　Re[1]: 解析学
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/05/09(Tue) 17:52:38)
    (a)
    条件から
    y[n+1]={1/(n+1)}Σ[k=1〜n+1]x[k]
    ={n/(n+1)}{y[n]+(1/n)x[n+1]}
    ={n/(n+1)}y[n]+{1/(n+1)}x[n+1]

    (b)
    (a)のy[n]を使うと、証明すべき等式は
    f(y[n])≦(1/n)Σ[k=1〜n]f(x[k]) (A)
    と同値となることから、(A)を証明します。

    (i)n=1のとき
    y[n]=x[1]となることから(A)は成立。
    (ii)n=lのとき、(A)の成立を仮定します。
    つまり
    f(y[l])≦(1/l)Σ[k=1〜l]f(x[k]) (A)'
    さて(a)の結果により
    f(y[l+1])=f({l/(l+1)}y[l]+{1/(l+1)}x[l+1])
    ここで
    l/(l+1)=1-1/(l+1)
    であることから、(1)により
    f(y[l+1])≦{l/(l+1)}f(y[l])+{1/(l+1)}f(x[l+1])
    これに(A)'を用いると
    f(y[l+1])≦{l/(l+1)}(1/l)Σ[k=1〜l]f(x[k])+{1/(l+1)}f(x[l+1])
    これより
    f(y[l+1])≦{1/(l+1)}{Σ[k=1〜l]f(x[k])+f(x[l+1])}
    ∴f(y[l+1])≦{1/(l+1)}{Σ[k=1〜l+1]f(x[k])
    ですので(A)はn=l+1のときも成立。

    (i)(ii)から数学的帰納法により、(A)は成立します。
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