積分　1/cosx 　by　数学ナビゲーター

f( sinx )cosx  の形に式が変形できたので， sinx=t  とおいて置換積分を行う。

dt dx =cosx→cosxdx=dt  となるので，

∫ cosx 1− sin 2 x dx =∫ dt 1− t 2 =∫ dt ( 1−t )( 1+t )

分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする。

1 ( 1−t )( 1+t ) = A 1−t + B 1+t = A( 1+t )+B( 1−t ) ( 1−t )( 1+t ) = ( A−B )t+( A+B ) ( 1−t )( 1+t ) { A−B=0 A+B=1 A=B 2B=1 B= 1 2 ,A= 1 2 1 ( 1−t )( 1+t ) = 1 2 ( 1 1−t + 1 1+t )

よって，

∫ dt ( 1−t )( 1+t ) => 1 2 ∫ ( 1 1−t + 1 1+t )dx = 1 2 { −log| 1−t |+log| 1+t | }+C ( C:積分定数 ) = 1 2 log| 1+t 1−t |+C = 1 2 log( 1+sinx 1−sinx )+C

∫ 1 cosx dx = 1 2 log( 1+sinx 1−sinx )+C

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