積分　1/sinx 　by　数学ナビゲーター

f( cosx )sinx  の形に式が変形できたので， cosx=t  とおいて置換積分を行う。

dt dx =−sinx→sinxdx=−dt  となるので，

∫ sinx 1− cos 2 x dx =∫ −dt 1− t 2 =∫ −dt ( 1−t )( 1+t )

分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする。

−1 ( 1−t )( 1+t ) = A 1−t + B 1+t = A( 1+t )+B( 1−t ) ( 1−t )( 1+t ) = ( A−B )t+( A+B ) ( 1−t )( 1+t ) { A−B=0 A+B=−1 A=B 2B=−1 B=− 1 2 ,A=− 1 2 −1 ( 1−t )( 1+t ) =− 1 2 ( 1 1−t + 1 1+t )

よって，

∫ −dt ( 1−t )( 1+t ) =− 1 2 ∫ ( 1 1−t + 1 1+t )dx =− 1 2 { −log| 1−t |+log| 1+t | }+C ( C:積分定数 ) =− 1 2 log| 1+t 1−t |+C = 1 2 log| 1−t 1+t |+C = 1 2 log( 1−cosx 1+cosx )+C

∫ 1 sinx dx = 1 2 log( 1−cosx 1+cosx )+C

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