正弦定理

　正弦定理　by　数学ナビゲーター

最終更新日 2012年4月9日

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三角形の各辺a ,b ,c と各角A ,B ,C の間には正弦定理と
いう関係がある。

正弦定理： a sinA = b sinB = c sinC

三角形の外接円の半径を R とすると，正弦定理は，

a sinA = b sinB = c sinC =2 R

となる。

【証明】

三角形の頂点Cから辺ABに垂線CDを引く。
直角三角形ACDと直角三角形BCDができる。
直角三角形の辺と三角比より

△ACDより： sinA= CD AC →CD=ACsinA

△BCDより： sinB= CD BC →CD=BCsinB

∴ACsinA=BCsinB

式を変形して、 BC sinA = AC sinB

よって、　　　 a sinA = b sinB     ( ∵a=BC,b=AC ) ･･････(1)

同様にして

a sinA = c sinC ･･････(2) 、 b sinB = c sinC ･･････(3)

(1)、(2)、(3)より　

a sinA = b sinB = c sinC 　

次に，△ABCの外接円を描き，その円の中心をO，半径を R とする。BOを延長して外接円と交わる点をA'とする。 ∠BAC＝∠BA'C（∵円周角の定理）で，∠A'CB＝90°であることより，

2Rsin∠B A ′ C=a → 2RsinA=a ，すなわち， a sinA =2R

となる。よって，正弦定理は，

a sin>A = b sinB = c sinC =2 R

となる。

【問題演習】
センター試験 2002年度本試験数学I・数学A　第2問[2]

【関連ページ】
数学I，余弦定理