2つの複素数 z 1 ， z 2 の積を考える。

z 1 = x 1 + y 1 i ， z 2 = x 2 + y 2 i 　

とおくと，

z 1 · z 2 =( x 1 + y 1 i )( x 2 + y 2 i ) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i+ x 2 y 1 i+ y 1 y 2 i 2 =( x 1 x 2 − y 1 y 2 )+( x 1 y 2 + x 2 y 1 )i 　

となります。でも，計算はできたがこの積の値がどのような意味をもつのか直感的に理解できないね！
そこで，複素数を極形式で表現して複素数の積の意味を考えてみよう。

z 1 = r 1 ( cos θ 1 +isin θ 1 ) ， z 1 = r 2 ( cos θ2 +isin θ2 ) 　

とおくと，

z 1 · z 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 +sin θ 1 i )( cos θ 2 +sin θ 2 i ) = r 1 r 2 cos θ 1 cos θ 2 +icos θ 1 sin θ 2 +isin θ 1 cos θ 2 + i 2 sin θ 1 sin θ 2 = r 1 r 2 ( cos θ 1 cos θ 2 −sin θ 1 sin θ 2 )+i( cos θ 1 sin θ 2 +cos θ 2 sin θ 1 )
             三角関数の加法定理を用いると
           = r 1 r 2 { cos( θ 1 + θ 2 )+isin( θ 1 + θ 2 ) }

この結果をよく見ると， z 1 · z 2 は絶対値が r 1 · r 2 偏角が θ 1 + θ 2 となっている。すなわち，

複素数の積は絶対値は積に，偏角は和

になる。 これを図で示すと右の図のようになる。この特徴を図形問題に応用する場合が多い。

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