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(1)

sinとcosの角度が等しいので，合成公式を用いると f( θ )  をｓｉｎの関数として表すことができる。

　

f( θ ) =sin( aθ )+ 3 cos( aθ ) = 1 2 + ( 3 ) 2 sin( aθ+60° ) =2sin( aθ+60° )

(2)

  f( θ )=2sin( aθ+60° )=0  より，

aθ+60°=180°×n  （ n は整数） 　

となる（三角関数のグラフを参照）。よって，

θ= 180°×n−60° a 　

θ>0  より  180°×n−60° a >0 。

a>0 なので 180°×n−60°>0  →  n> 1 3  となる。

これらのことjから， f(θ)=0  を満たす正の角 θ  の うち
最小のものは n=1 のときで，

θ= 120° a

となる。小さいほうから数えて4番目と5番目のものは， n=4 ， n=5 の場合で，

θ= 660° a ， θ= 840° a 　

となる。　

(3)

  0°≤θ≤180° の範囲で， f(θ)=0  を満たす θ  がちょうど4個存在するためには，

660° a ≦180°< 840° a

でなければならない。下図参照。　

よって，　

11 3 ≦a< 14 3

となる。