出題校：センター試験　2002年度　本試験　数学ＩＩ・数学B　解答

第1問　（必須問題）　（配点　30）

[1]

  a  を正の定数とし，角 θ  の関数

f(θ)=sin( aθ )+ 3 cos( aθ )

を考える。

(1)

  f(θ)=ア sin( aθ+イ ウ ° )  である。

(2)

  f(θ)=0  を満たす正の角 θ  の うち
最小のものは

   エ オ カ° a

であるり，小さいほうから数えて4番目と5番目のものは，それぞれ

   キ ク ケ° a ，    コ サ シ° a

である。

(3)

  0°≤θ≤180° の範囲で， f(θ)=0  を満たす θ  がちょうど4個存在するような a の範囲は

   ス セ   ソ ≤a<   タ チ   ス

である。

解き方　解答

　

[2]

対数関数

f(x)= log 2 x g(x)= log 2 ( x+a )

について考える。関数 y=g(x)  のグラフは，関数 y=f(x)  のグラフを x  軸方向に  テ ト  だけ平行移動したものである。ただし， a>0  とする。

(1)

  F(x)=g(x)−f(x) とする。
F(2)=1 となるのは， a=ナ  のときである。
F(1)=2F(3)  となるのは， a=ニ  のときである。

(2)

次に

h(x)= log 4 ( 4x+b )      ( b>0 )

とする。 g(1)=h(1) ， g( 1 2 )=h( 1 2 )  となるのは

a=    ヌ   ホ ， b=    ノ ハ   ヒ フ

のときである。

解き方　解答

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

座標平面において，点  ( a,1 )  を中心とし， x  軸に接する円を C 1 とする。また，放物線 y= 1 2 x 2 を C 2 とし， C 2 上に点P ( b, 1 2 b 2 )  をとる。ただし， a>0 ， b>0 とする。

(1)

  C 1 の方程式は

( x−ア ) 2 + ( y−イ ) 2 =ウ

である。

(2)

Pにおける C 2 の接線 ℓ の傾きは  エ  である。したがって， ℓ の 方程式は

y=エ x−    オ   カ b キ

である。また，Pを通り， ℓ に直交する直線 m の方程式は

y=   クケ   コ x+   サ   シ b ス +セ

である。

(3)

  C 1 の中心が m 上にあるとする。このとき

a=   ソ    タ b チ

が成り立つ。

　さらに， C 1 がPを通るとき

b= ツ ， a= テ ト 2

である。

　このとき， C 1 はPにおいて ℓ と接し， ℓ とx軸のなす角は  ナニ ° である。また，2直線 x=0 ， x=a の間にあって， C 1 と C 1 と x軸の三つで囲まれた部分の面積は

ヌ ホ ノ − π ハ

である。

解き方　解答

　

第3問　（選択問題）　（配点　20）

　平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを a:1 に内分する点P，辺BCを b:1 に内分する点をQとする。辺CD上の点Rをよび辺DA上の点SをそれぞれPR//BC，SQ//ABとなるようにとり， x → = BP ⟶ ， y → = BQ ⟶ とおく。

(1)

　五角形PBQRSの辺RQ，SPおよび対角線SBが表すベクトルは x → ， y → をもちいて

RQ ⟶ =− x → − ア イ y → ， SP ⟶ =ウ エ x → − y → SB ⟶ =−( オ −カ ) x → − y → RB ⟶ =− x → −( キ + ク ケ ) y →

となる。

(2)

  SP ⟶ · x → = x → · y → = y → · RQ ⟶  が成り立つとする。このとき

x → · y → =− コ サ | x → | 2 =− 1 シ ス | y → | 2

である。

（3)

RQ//SB および SP//RB が成り立っている。このとき

a= セ ソ + タ チ ， b= ツ + テ ト

である。

(4)

(2)と(3)の条件が同時に成り立つとき

| x → | | y → | =ナ

であるから

cos∠PBQ= ニ − ヌ ネ

を得る。

解き方，解答

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

(1)

相異なる二つの複素数a ，b に対して

arg z−a z−b =±90°

を満たす z  は，複素平面上の，ある円の周上にある。この円は a ， b  を用いて

| z− ア +イ ウ |= | エ −オ | カ

で表される。

　ただし， argz  は複素数 z  の偏角を表す。

(2)

　以下，複素数の偏角は 0° 以上 360° 未満とする。
2次方程式  x 2 −2x+4=0  の二つの解を α ， β とする。ただし， α の虚部は正とする。このとき

arga=キ ク ° ， arga=ケ コ サ ° α 2 + β 2 =シ　ス , α 2 − β 2 =セ ソ i

である。したがって

arg z− α 2 z− β 2 =90°

を満たす z  が描く図形は

| z+タ |=チ ツ

で表される円のうち

テ ト ナ °<argz<ニ ヌ ネ °

を満たす部分でる。

解き方，解答

第5問　（選択問題）　（配点　20）　

(1)

X=4 となる確率は  ア イ ウ  である。

X=4  かつ  Y=3 となる確率は  エ オ カ  である。

X≥3  となる 確率は  キ ク ケ  である。

X≥3  という条件のもとで Y=3 となる条件つき確率は  コ サ シ  である。

(2)

a+b=ス であり， X=2 となる確率は  セ ソ  で， Xの平均（期待値）は  セ ソ  である。

(3)

  Yの平均値が 133 50 であれば

a=ト ， b=ナ

である。

(4)

X=2  という事象と Y=4 という事象が独立であれば

a=ニ ， a=ヌ

であり， Y の平均は ネ ノ ハ である。 　

第6問　（選択問題）　（配点　20）

　 p を3以上の自然数とする。1以上 p−1 以下の各自然数 a  に対して，数の列

a 1 , a 2 ⋯, a p−1

を次のように決める。

• a 1 は a   とする。
• a i+1 は a i ×a を a で割った余りとする。ただし， 1≤i≤p−2 である。

• a i =1 となる i が 1≤i≤p−1 の範囲にあるときは，そのような最小の i を f(a)  とする。
• a i =1 となる i が 1≤i≤p−1 の範囲に無いときは f(a)=0  とする。

a の値を入力して f(1),f(2),⋯f(p−1)  を出力させるプログラムを考えたい。　

この方針に従って，次のプログラムを書いた。

100　INPUT "P=";P
110 　FOR A=1 TO P-1
120　　　 ウ 　
130　　　FOR I=1 TO P-1
140　　　　　IF エ THEN PRINT "f(";A;")=";I:GOTO 180
150　　　　　B=A*B-P*INT(A*B/P)
160　　　NEXT I
170　　　PRINT "f(";A;")=0"
180　NEXT A
190　END

　注意：INT(X)は，Xを超えない最大の整数を表す関数である。

(1)

　上の  ア  から  エ  に適するものを，次の  〜 のうちから一つずつ選べ。

a i+1 ≠1	a i+1 =1	B=0	B=1
B<>0	B=A	A=B

(2)

　このプログラムを実行する。表示

P=?

に対して7を入力したとき，はじめの4行は

	f(1)=  オ
	f(2)=  カ
	f(3)=  キ
	f(4)=  く

　　　　

と出力される。

(3)

　上のプログラムで140行と150行を入れかえたプログラム実行させ

P=?

に対して9を入力すると，はじめの4行は

	f(1)=  ケ
	f(2)=  コ
	f(3)=  サ
	f(4)=  シ

　　　　

とり，意図した結果と異なるものが出力される。