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(1)

点 ( a,1 ) を中心とした円が x  軸に接するということは，円の半径は1である。 （下図参照）

よって，円の方程式は

( x−a ) 2 + ( y−1 ) 2 =1  ・・・・・・

となる。

(2)

Pにおける C 2 の接線 ℓ の傾きはPにおける C 2 の微分係数である。

f( x )= 1 2 x 2   とおくと，導関数は， f ′ ( x )=x  となり，微分係数は f ′ ( b )=b

よって，接線の傾きは b  となる。

したがって，接線 ℓ の 方程式は

y=b( x−b )+ 1 2 b 2 y=bx− b 2 + 1 2 b 2 y=bx− 1 2 b 2

となる。

Pを通り， ℓ に直交する直線 m の傾きを a とすると，

b·s=−1  より， s=− 1 b  となる。よって，直線 m の方程式は，

y=− 1 b ( x−b )+ 1 2 b 2

y=− 1 b x+ 1 2 b 2 +1  ・・・・・・

となる。

　

(3)

  C 1 の中心が m 上にあるのでに x=b ， y=1 を代入すると，

1=− 1 b a+ 1 2 b 2 +1

の方程式が成り立つ。これを解くと，

1 b a= 1 2 b 2

a= 1 2 b 3  ・・・・・・

となる。

さらに， C 1 がPを通るので，Pの座標 ( b, 1 2 b 2 )  をに代入すると，

( b−a ) 2 +( 1 2 b 2 −1 )=1

となる。これにを用いて a を消去すると，

( b− 1 2 b 3 ) 2 +( 1 2 b 2 −1 )=1 ( b 2 − b 4 + 1 4 b 6 )+( 1 4 b 4 − b 2 +1 )=1 1 4 b 6 − 3 4 b 4 =0 1 4 b 4 ( b 2 −3 )=0

となる。 b>0  より，

b= 3

となる。またより，

a= 1 2 ( 3 ) 3 = 3 3 2

となる。このとき， C 1 と C 2 の様子は下図のようになる。

点Pの座標は ( 3 , 3 2 ) ，円の中心座標は ( 3 3 2 ,1 )

直線 ℓ と x 軸のなす角を θ とすると，直線 ℓ の傾きが 3 （問題(2)を参照） なので，

tanθ= 3 →θ=60°

となる。求める面積は上図の灰色の部分になる。この部分を下図にように分解して面積を求る。

s1 は積分を用いて求める。

s1 = ∫ 0 3 1 2 x 2 dx = [ 1 6 x 3 ] 0 3 = 1 6 ( 3 ) 3 = 1 2 3

s2 は台形の面積である。

s2 = 1 2 ( 3 2 +1 )( 3 3 2 − 3 ) = 1 2 · 5 2 · 3 2 = 5 3 8

s3 は半径1，中心角120°の扇型の面積である。

s3 =π· 1 2 · 120° 360° = π 3

よって，

s =s1+s2+s3 = 1 2 3 + 5 3 8 − π 3 = 9 3 8 − π 3