KIT数学ナビゲーションの円の方程式のページではMathPlayerをインストールする必要がありません。

■中心：原点，半径：r  の円の方程式

x 2 + y 2 = r 2

r と θ を使って円周上の点Pを表すと，　

{ x=rcosθ y=rsinθ

となる。

x 2 + y 2 = ( rcosθ ) 2 + ( rsinθ ) 2 = r 2 ( cos 2 θ+ sin 2 θ ) = r 2

■中心：C(a,b)，半径：r  の円の方程式

( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 = r 2

r と θ を使って円周上の点Pを表すと，　

{ x=a+rcosθ y=b+rsinθ

となる。

( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 = ( a+rcosθ−a ) 2 + ( b+rsinθ−b ) 2 = r 2 ( cos 2 θ+ sin 2 θ ) = r 2

■原点Oと点Q(a,b)を結ぶ直線OPを直径とする円の方程式

円周角の定理より ∠OPQ=90° 。
よって， OP ⟶ , QP ⟶ の内積は， OP ⟶ · QP ⟶ =0  となる。
この関係を，ベクトルの成分で表すと OP ⟶ =( x,y ), QP ⟶ =( x−a,y−b ) より
x  ( x−a )+y  ( y−b )=0
となる。上記のような円の方程式の形に変形すると，
( x− a 2 ) 2 + ( y− b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4
となる。
これが求める円の方程式である。
中心の座標は， ( a 2 , b 2 ) ，半径は， a 2 + b 2 2 となる。

内積を用いて円の方程式を導く方法は重要である。

三平方の定理を用いて方程式を導くこともできます。

OQ 2 = OP 2 + QP 2
a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + (x−a) 2 + ( y−b ) 2 a 2 + b 2 = x 2 + y 2 + x 2 −2ax+ a 2 + y 2 −2by+ b 2 0=2( x 2 −ax+ y 2 −by ) x 2 −ax+ y 2 −by=0 ( x− a 2 ) 2 + ( y− b 2 ) 2 = a 2 + b 2 4

■複素数を用いた円の方程式  [topへ]

 複素平面上において，原点Oを中心とする半径  r の 円の方程式は，複素数を z=x+yi   とすると，

| z |=r   （ r= x 2 + y 2 ）

極形式で表すと，

z=r( cosθ+isinθ )

となる。

| z−α |=r | ( x−yi )−( a+bi ) |=r | ( x−a )+( y−b )i |=r ( r= ( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 )

となる。

arg z−α z−β =±90°

（円周角の定理と複素数平面での2直線のなす角を参照）

あるいは，

円の中心が α+β 2 ，円の半径が | α−β | 2 となるので，

| z− α+β 2 |= | α−β | 2

と表すこともできる。

【問題演習】
    センター試験　2002年度 本試験 数学II・数学B　第2問[1]
    金沢工業大学　2002年度　数学（A-2)　III

【関連ページ】
    数学IIの図形と方程式