- (1)
-
 |
PA
⟶ =
a 1
x → =a
x →
QC
⟶ =
1 b
y →
|
RQ
⟶
=
RB ⟶
+ BQ
⟶
=(
RC
⟶ +
CB ⟶
)+
BQ ⟶
=( −
CR ⟶
− BC
⟶
)+
BQ ⟶
={ −
CR ⟶
−(
BQ ⟶
+ QC
⟶
) }+
BQ ⟶
={ −
x → −(
y →
+ 1 b
y →
) }+
y →
=−
x → −
1 b y
→
SP
⟶
=
SA ⟶
+ AP
⟶
=−
AS ⟶
− PA
⟶
=−
y → −a
x →
=−a
x → −
y →
SB
⟶
=
SA ⟶
+ AB
⟶
=−
AS ⟶
− BA
⟶
=−
AS ⟶
−(
BP ⟶
+ PA
⟶
)
=−
y → −(
1+a )
x →
=−(
1+a )
x → −
y →
RB
⟶
=
RC ⟶
+ CB
⟶
=−
CR ⟶
− BC
⟶
=−
CR ⟶
−(
BQ ⟶
+ QC
⟶
)
=−
x → −(
1+ 1 b
)
y →
- (2)
-
SP ⟶
· x
→ =(
−a x
→ −
y → )·
x → （内積計算の基本II参照）
よって
(
−a
x → −
y → )·
x → =
x → ·
y →
−a
x → ·
x → −
x → ·
y → =
x → ·
y →
2 x →
· y
→ =−a
| x →
| 2
x →
· y
→ =−
a 2 |
x →
| 2
・・・・・・ 
y →
· RQ
⟶ =
y → ·(
− x
→ − 1
b y →
)
（内積計算の基本II参照）
よって，
y → ·(
− x
→ − 1
b y →
)=
x → ·
y →
− x
→ ·
y → −
1 b y
→ ·
y → =
x → ·
y →
2 x →
· y
→ =−
1 b |
y →
| 2
x →
· y
→ =−
1 2b
| y
→ | 2
・・・・・・
- (3)
- RQ//SBより，
RQ ⟶
=t
SB ⟶
（
t は実数）とおくことができる。よって，
−
x → −
1 b y
→ =t{
−( 1+a
) x
→ −
y → }
−
x → −
1 b y
→ =−t(
1+a )
x → −t
y →
となり，連立方程式
{
−1=−t(
1+a )
− 1
b =−t
が得られる。これから，
t を消去すると，
−1=−
1 b (
1+a )
b=1+a
・・・・・・ 
が得られる。同様にして，
SP//RBより，
SP ⟶
=r
RB ⟶
（
t は実数）とおくことができる。よって，
−a
x → −
y → =r{
− x
→ −(
1+ 1 b
)
y → }
−a
x → −
y → =−r
x → −r(
1+ 1 b
)
y →
となり，連立方程式
{
−a=−r
−1=−r(
1+ 1 b
)
が得られる。これから，
r を消去すると，
1=a(
1+ 1 b
) ・・・・・・
が得られる。とより，
b を消去すると，
1=a(
1+ 1
1+a
) 1=a(
a+2
1+a
)
1+a=a(
a+2 )
a 2
+a−1=0
解の公式より，
a= −1±
5 2
a>0
より
a= −1+
5 2
これを，に代入すると，
b=1+
−1+
5 2 =
1+ 5
2
となる。
- (4)
- と
より，
−
a 2 |
x →
| 2 =−
1 2b
| y
→ | 2
| y
→ | 2
|
x →
| 2
=ab
となり，これに
a ，
b の値を代入すると，
|
y → |
2
| x →
| 2
=(
−1±
5 2
)(
1+ 5
2 )=
−1+5
4 =1
となる。よって，
|
y → |
|
x → |
=1
・・・・・・ 
が得られる。次に，
cos∠PBQ=
x →
· y
→ |
x →
||
y → |
（内積計算の基本式Iを参照）
と表すことができる。この式はとより，
cos∠PBQ=
− a 2
|
x → |
2
| x →
| 2
=− a
2 =−
1 2 (
−1±
5 2
)= 1−
5 4
となる。
