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等比数列
{ a }
の初項を
a 公比を
r とすると，
a 1 =a
，
a 2 =ar
となる。これらを，
a 1 +2
a 2 =0
に代入すると，
a
1 +2
a 2 =0
a+2ar=0
1+2r=0
(∵a≠0)
∴r=−
1 2
a 1 =a,
a 2 =a(
− 1 2
),
a 3 =
( −
1 2 )
2 を
a 1 +
a 2 +
a 3 =
9 4
に代入すると，
a+a(
− 1 2
)+
( −
1 2 )
2 = 9
4
a( 1−
1 2 +
1 4 )=
9 4
3 4 a=
9 4
∴a=3
{ a }
が等比数列であるｋとに着目すると，
a
4 + a
5 + a
6 = r
3 a 1
+ r 3
a 2 +
r 3 a
3 =
r 3 (
a 1 +
a 2 +
a 3 )
= (
− 1 2
) 3
· 9 4
=−
9 32
一方，
a n =3
( −
1 2 )
n−1
です。
1 a n
= b
n とおくと，
b n =
( −2
) n−1
3
となり，
b n
は初項
1 3
，公比-2の等比数列になります。等比数列の和の公式を用いると，
1 a
1 +
1 a 2
+⋯+
1 a n
= b 1
+ b 2
+⋯+
b n
=
∑ k=1
n b
k
=
1−
( −2
) n
{ 1−(
−2 )
}3
= 1−
( −2
) n
9
となります。この値が57となる
a を求めるので，
1− (
−2 )
n 9
=57
1− (
−2 )
n =513
(
−2 )
n =−512
(
−2 )
n = (
−2 )
9 ∴n=9
b 7 =1
より，
7p+q=1
・・・・・・(1)
一方，
S n =
∑ k=1
n (
pn+q
) =p
n( n+1
) 2
+qn
S 12
=10 より，
p 12(
12+1
) 2
+q·12=10
39p+6q=10
・・・・・・(2)
(1)，(2)より，
p= 1 3
,q=−
4 3
となる。よって，
S n =
1 3
n( n+1
) 2
− 4 3
n= 1
6 (
n 2 −7n
)
S 1 +
S 2 +⋯+
S 12
を求めます。
∑ k=1
n S
k
= ∑
k=1 n
1 6
( k
2 −7k
)
= 1 6
{ ∑
k=1
n k
2 −7
∑ k=1
n k
}
=
1 6 {
n(
n+1
)( 2n+1
) 6
−7 n(
n+1
) 2
}
=
1 36
n( n+1
)(
2n+1−21
)
=
1 18
n( n+1
)(
n−10
)
∑ k=1
n k
2 の計算はここを参考にしてください。
S 1 +
S 2 +⋯+
S 12
=
∑ k=1
12
S k
= 1 18
·12(
12+1
)( 12−10
)
=
52 3
となります。
